湖南省长沙市第一中学2019届高三数学下学期模拟卷（一）理（含解析）

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1、长沙市一中2019届高考模拟卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则A∩B＝（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】通过不等式的解法求出集合A，然后求解交集即可．【详解】由已知得，所以，故选B.【点睛】本题考查二次不等式的求法，交集的定义及运算，属于基础题．2.已知为虚数单位，复数满足，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则求解z，再由模的计算公式即可得出．【

2、详解】由题意得，，-22-.故选C.【点睛】本题考查了复数的运算法则及模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．3.已知，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将已知等式两边同时平方，利用二倍角公式结合诱导公式即可求得sin2α的值．【详解】因为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角余弦公式的应用，属于基础题．4.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大

3、高度为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析】-22-根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论．【详解】正方体的面对角线长为，又水的体积是正方体体积的一半，且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，即最大水面高度为，故选B.【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．5.若非零向量、满足，则在方向上的投影为（）A.B.8C.D.【答案】A【解析】【分析】先由数量积的运算律计算得到，再利用投影

4、公式计算即可得出结果．【详解】由得，从而在方向上的投影为，故选A.【点睛】本题考查了向量的数量积运算、向量的投影，属于基础题．6.形状如图所示的2个游戏盘中（图①是半径为2和4的两个同心圆，O为圆心；图②是正六边形，点P为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分的概率是（）-22-A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先计算两个图中阴影面积占总面积的比例，再利用相互独立事件概率计算公式，可求概率.【详解】一局

5、游戏后，这2个盘中的小球停在阴影部分分别记为事件，，由题意知，，相互独立，且，，所以“一局游戏后，这2个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为.故选A.【点睛】本题考查几何概型及相互独立事件概率的求法，考查了分析解决问题的能力，属于基础题.7.若函数，且的最小值是，则的单调递增区间是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由条件求得ω的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．【详解】，因为，，所以的最小值为，-22-所以T=，，令，，解得，，所以的单调增区间为故

6、选B.【点睛】本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的单调性，解答本题的关键是求得ω，属于基础题．8.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则芒种日影长为（）A.1．5尺B.2．5尺C.3．5尺D.4．5尺【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可得，，可得，，计算出公差d，再利用通项公式即可得出所求．【详解】设这

7、十二个节气日影长依次成等差数列，是其前项和，则，所以，由题知，所以，所以公差，所以，故选B.【点睛】本题考查了等差数列的性质、通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.平面直角坐标系xOy中，动点P到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等，则P点的轨迹方程是（）-22-A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：设圆心为，动点到直线的距离为，根据题意得：，可得，即：动点到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等，根据抛物线的定义，动点的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，设方程为，

8、则，，所以抛物线方程为：，选A．考点：抛物线定义．【思路点晴】本题主要考查的是抛物线的定义和抛物线的方程，属于中档题．本题动点到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等，可转化为动点到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等，从而利用抛物线的定义进行求解．解决圆锥曲线问题时注意圆锥曲线定义的应用．10.已如定点P，动点Q在线性约束条件所表示的平面区域内，则直线PQ的斜率k的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，找到边界的点，求得，数形结合可得