湖南省长沙市长郡中学高三高考模拟卷（一）文数试题含解析

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湖南省长沙市长郡中学2016届髙三高考模拟卷（一）文数试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.D.AqB1.已知集合A={x|x2-16<0},B={-5,0,1}，则（）A.=0B.BqAC.AnB={0,l}【答案】C【解析】试題分析：由/—16<0解得一^A={x-404.若兀,y满足约束条件]x-y<0，则口的最大值为（）x+y-4<0■A.2B.-C.3D.12【答案】A【解析】试题分析:作出不等式组表示的平面区域，如團所示，因为匕表示点AOJ）与区域内的点的连线的斜率,X由團知，点P与点救⑶连纟戋的斜率最犬，所叹（上二卫二虬=淫=2,故选A・x1—05•己知q=（—3,2）,/?=（-1,0）,向量/h+b与d—2b垂直，则实数久的值为（）I111A.—B.C.—D.7766【答案】B【解析】试题分析：因为久方+5=2(—3,2)+(-1,0)=(—32—1,22),a-2b=(-3,2)-2(-1,0)=(-1,2),又向量久2+乙与方一2为垂直，所以(芯+初•(：一2初=0,即一(一32—1)+42=0,解得A=-|,故选B.考点：1、向量的坐标运算；2、向量垂直的充要条件.6•执行如图所示的程序框图，输出的结果为98,则判断框内可填入的条件为（） A.n>4?【答案】AB.n>5?D.n>7?【解析】试题分析：第一次循环，得s=2,h=2）第二次循环，得s=10/=3；第三;欠循环，得£=34申=4；第四次循环，得£=98,”=5,此时満足题意，退出循环，输出s=98,所以判断框内可填入的条件为心4?,故选A.考点：程序框图.7.函数f（x）=-x-sinx的图彖可能是（）2 BC【答案】人【解析】试题分析：因为/(-%)=--x+sinx=-(-x-sinx)=-/(x),所以/(兀)为奇函数，故排22除B、D；当兀=—时，f(x)=—x(—)—sin(—)=——>0»故排除C,故选A.424482考点：1、函数图象；2、函数的奇偶性.8.如图所示，三棱锥P-ABC中，PA丄平面ABC,ABC为正三角形，PA=AB,E是PC的中点，则异而直线AE和FB所成角的余弦值为()1111A.—B.—C.—D.—6432【答案】B【解析】试题分析：取的中点F,连接EFZAF,则EF//PB,所以ZAEF或其补角就是异面直线和所成角.因为AABC为正三角形，所以ZB4C=60。.设PA=AB=2a?因为M丄平面ABC,所以AF=书久AE=屆,EF=屆,所以cos厶=(运+(严);(£°尸=丄,故选p.2xj2axj2々4考点：1、异面直线所成角；2、线面垂直的性质定理；3、余弦定理.【方法点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或屮点)作平行线平移；③补形平 移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.9.己知函数/(x)=|log4x|,正实数加，"满足m0,且一log4m-log4n,所以丄=n,即mmn=1.因为/(x)在区间［m2,/?］上的最大值为2,即/(兀)在区间附,丄］上的最大值为2,m.1所以一log4=2,所以log4m--,所以m=—,/i=4,故选B.考点：1、函数的最值；2、对数的运算.10.已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为()正视图俯视图A.B.71C.—【答案】D 【解析】试题分析：根据三视图作出三棱锥D-ABC的直观图，其中底面应C是等腰直角三角形，AC=BC=lfDC丄底面ABC?DC=41•取曲中点E,过E作曲丄底面曲C,且UE=；DC季准结施T,22则H为三棱锥外接球的球心，屈为外接球的半径.因为ae=ab=^-?ah/a^+eh7,22所以三棱锥外接球的体积V=^xV=^?故选D・23考点：1、三棱锥的三视图；2、多面体的外接球；3、球的体积.2211.已知椭圆:令+—l（0vbv2）,左、右焦点分别为耳，坊，过耳的直线/交椭圆于A,B两点，若|丽［|+|亟|的最大值为5,则b的值是（）3A.1B.V2C.-D.y/32【答案】D【解析】试题分析:由椭圆走义，得|曲|+1/巧|+|月码匸也=8，所以当线段AB长度达最小值时,|巫|+1两|有最犬值•当AB垂直于兀轴时,|AB|罰=2x兰=2xf=化所以|亟|+1亟|的最犬值为8-沪=5,a2所以沪=3,即乃=搭，故选D・考点：1、椭圆的定义及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系.【方法点睛】（1）涉及椭圆上的点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能否运用定义进行求解•点P在椭圆上，则点P—定满足椭圆的定义，同时点P的坐标适2b2合方程；（2）过焦点的所有弦屮，垂直于长轴的眩是最短的弦，而它的长为——把这个弦叫a作椭圆的通径.12.函数y=f（x）为定义在/?上的减函数，函数y二/（x-1）的图象关于点（1,0）对称，兀,y满 足不等式/U2-2^)+/(2y-y2)<0,M(l,2),N(x,y),O为坐标原点，则当15x54时，丽•师的取值范围为（D.[3,12]A.[12,+oo)B.[0,3]C.[0,12]【答案】C【解析】试题分析：由题意得函数y=/（%）的图象关于点（0,0）对称，即函数y=/（X）为奇函数，因此由f(x2-2%)+f(2y-y2)<0得f(x2-2%)-2y+y2,即（兀一刃（兀+y—2）»0.因为15兀54,所以可行域为一个三角形ABC及英内部，英屮A（l,l）,B（4,4）,C（4,—2）,而丽•ON=x+2y,所以过点C时取最小值0,过点B时取最大值12,故选C.考点：1、函数的单调性与奇偶性；2、向量数量积.【方法点睛】解函数不等式的一般步骤：第一步：（定性）确定函数/（兀）在给定区间上的单调性；第二步：（转化）将函数不等式转化为/（M）v/（N）的形式；第三步：（去/）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号，转化为一般的不等式或不等式组；第四步：（求解）解不等式或不等式组确定解集.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某种产品的广告费支出兀与销售额yZ间有如下对应数据（单位：百万元）•X2；5(i8y304060t70根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为》=6.5x+17.5,则表中/的值为.【答案】50【解析】rhBs^一2+4+5+6+8-30+40+60+^+70t用％土的妊grniizi试透分析：由顽思，x=、y-=40+-・因为y关于x的线性回归方程为y=6.5x4-17.5,所以40+寸=6.5><5+17.5,所以40+孑=50,所以〒=10,所以『=50・考点：线性回归方程.2214.过原点的直线与双曲线二一=1«>0">0）交于M,N两点、,P是双曲线上异于0lr M,N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为丄，则双曲线的离心率4为.3【答案】-2【解析】试题分析：由双曲线的对称性知，可设P（x°,y（）），M3」），则2（—西必）,由kp^kpN又因为77f9沪斧所以产7所以双=寸，即£_畀二扌（€_彳）‘即寸对_尤=扌器_才・P（%o,）b）,M（X],yJ均在双曲线上，所以—y—-yy=CTO曲线的离心率为幺=考点：1、双曲线的几何性质；2、直线的斜率公式.【方法点睛】讨论双曲线的性质，离心率问题是重点，求双曲线的离心率丘的常用方法有两种:（1）求得a,c的值，直接代入』求得；（2）列出关于a,b,c的一个齐次方程（不等式），再a结合b2=c2-a2消去b,转化为关于幺的方程（或不等式）再求解.13.己知函数=正项等比数列｛色｝满足％）=1，则/（Inq）+/（In他）+/（In色）+…+/（In夠）=【答案】99~2【解析】3一“试题分析：因为/&）==,=i.因为数列｛咳｝是等比数列，所3+13+13+1以色餐二勺伽=・・=&4护51=1，艮卩1。昭+1°咚=h阳+1°吆=•-・=ln如+111^1=0・设=/（1口q）+勺）+/（b角）/（I。役?）①，又Spg=/Qu<3^5）+y'Clfl@8）+^（111<327）+…+/（ln^）②，①鬼，得2^=99,所以S^=—・考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算；3、数列求和.【知识点睛】如果一个数列｛色｝,与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等,为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法.如等差数列的前斤项和公式即是用此法推导的. 13.ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列命题正确的是.①若AABC最小内角为a,贝ijcos(7>-；2②若AsinB>BsinA,则B>A；③存在某钝角AABC,有tanA+tanB+tanC>0；④若2aBC++=则ABC的最小值小于-.6【答案】①④【解析】7T1试题分析：对①，因为MBC最小内角为所以0vaW—,cosan—,故正确；对②，32丄叫厂/、sinx工戸fI,、xcosx-sinx七小龙、心un构造函数F(x)=,求导得：F(x)=,xe(0,—)时，tanx>x,即x对2>x,贝0xcosx-sin^<0,所以F(x)=；<0,即F(x)=在cosxxxe(0,彳)上单减，由②AsinB〉BsinA,得号色〉聖丫，即F(B)>F(A),所以B0,tanC>0,故tanA+tanB+tanC=tantanBtanC<0,③不正确；对④，由2aBC+bCA-^-cAB=2aBC+/?G4+c(AC+CB)=(2a-c)BC4-(/?-c)CA=6,即(2a-c)BC=(c-h)CA，而荒，鬲不共线，则2a-c=0,b-c=Q,解得c=2a,b=2a,则。是最小的边，故A是最小的角，根据余弦定理cos=40+40—0=]>乞,故④正确，故①④2bc2x2ax2a82正确.考点：1、命题真假的判定；2、函数的单调性三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•)14.(本小题满分12分)已知函数/(x)=2a/3sinxcosx-2cos2x+.(1)求函数/(x)的最小正周期；A(2)在AABC中，若/(-)=2,边AC=1,AB=2.求边BC的长及sinB的值.2向【答案】(1)兀；(2)^―. 【解析】试题分析：（1）首先利用两角差的正弦函数与倍角公式化简函数解析式，从而求得函数/U）的最小正周期;（2）首先根据f（A）=£求得角A的大小,然后利用余弦定理求得的长,从而利用正弦定理求得血C£的值.试题解析：(1)/(x)=^3sin2x-cos2x=2sin(2x-—)6=兀〉所以最小正周期为兀・(2)/(-)=2sin(J--)=2,Ae(Q:7f)?:.A-巴上2662_2更"TAABC中，由余弦定理得,cos=ac2+ab2-bc2-lAC^AB4+1-0022x2x1由正弦定理弊=冬,可得sEB二密・sin^tsm_B14考点：1、两角差的正眩函数；2、倍角公式；3、正弦函数的性质；4、正眩定理与余眩定理.【思路点睛】从条件出发，利用正弦定理（或余弦定理）进行代换、转化.逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等.18.（本小题满分12分）某学校高三年级学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性別分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100,110）,[110,120）,[120,130）,[130,140）,[140,150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.男生女生 （1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2X2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？附^F（K空為）0.1000.0500・0100.0012.7063.8416.63510,828n(ad—bc)z数学尖子生非数学尖子生合计男生女生合计3【答案】（1）（2）表见解析；没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”.【解析】试题分析：（1）首先分别求出分数分数小于110分的学生男生与女生的人数，从而列出从中随机抽取2名学生，所有的可能结果与其中两名学生恰好为一男一女的可能结果，进而利用古典规型概率公式求解；（2）苴先分别求出抽取的100名学生中男生与女生的人数，从而列出2x2列联表，然后算出氏2与临界表对照作出判断.试题解析：（!）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名.分数小于110分的学生中，男生有60x0.05=3〔人力记为女生有40x0.05=2（人力记为b^b1?从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有io种,它们是:（4,4X（4.4）（4^4）（4^1）（a1,b2）,（a2,b1）,（a2,b2）,（a3,b1）,（a3,b2）,（b1,b2），其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：（外引,（人,82）,（血,引,（4，坊）,（4，即,（人3，场）’故所求的概率P=—=~.105（2）由频率分布直方图可知， 在抽取的100名学生中，男生60x0.25=15（人），女生40x0.375=15（人）据此可得2x2列联表如下： 数学尖子生非数学尖子生合计男生154560女生152540合计3070100所以得K?n(ad-be)2_100(15x25-15x45)2(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)-60x40x30x7025=H141.79,因为1.79<2.706.所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”.考点：1、古典概型；2、独立性检验思想；3、频率分布直方图.【方法点睛】古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算，当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出來，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合.19.(本小题满分12分)如图甲，圆O的直径AB=2,圆上两点C,D在直径AB的两侧，使ZCAB=-,ZDAB=-，沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙),43F为BC的中点，根据图乙解答下列各题：(1)求点B到平面ACD的距离；(2)如图：若ZDOB的平分线交弧于一点G,试判断FG是否与平面ACD平行？并说明理由.图甲 【答案】（1）Z姮；（2）FGZ7面ACD.理由见解析.7【解析】试题分析：（1）根据=Vc_^求解即可；（2）连结OF,令OG交DB于连结倔，利用中位线定理可推出面FOG"面ACD,再由性质定理即可使问题得证.试题解析：（1）点B到面/CD的距离为弩L（2）FG"面ACD?理由如下：D连结OF,则AABC中，兀O分别为BCtAB的中:.FOHAC?又:FOb>0）过点A（2,0），离心率为止.crb~2（1）求椭圆C的方程；（2）过点BQ,0）且斜率为k（k丰0）的直线/与椭圆C相交于E,F两点，直线AE,AF分别交直线x=3于M,N两点，线段MN的中点为P.记直线PB的斜率为F,求证：k^k为定值.2【答案】（1）—+/=1;（2）见解析.4 【解析】试题分析:（1）利用椭圆的几何性质，建立a^c的方程组即得5（2）设出点E,F的坐标与/的直纟戋方程,并与椭圆方程联立，应用韦达定理，建立上与坐标的联系；确走F的坐标，将斜率心用坐标表示，得到上V的关系即得证.2=沪+去试题解析：（1）由題设」£=当，解之得r=2上=1,所以椭圆C的方程为三+尸=1,a24a=24疋一4<2）设直线/的方程为代入椭圆方程—+=1得：（4疋+1）/-8心c+4Q-4=0,4设£（西,”）,F（花宀），则由韦达定理得：西+花=直线AE.AF的方程分别为：y=斗&—2）,y=^-（x-2）,jq—2Xj—2令*3得：證（3,生），N（3,』T，所以尸（3丄（丄4+丄鼻）），画一2Xj—22西一2Xj—2丄（亠+亠_0亠+応_丘乂2乞_2花_2_比严-2花_2匸疋乂冷一IX花一2）+奴花一IX西一2）3-1~~4"4（^-2X^-2）加-8-24疋+16疋+4二疋江2西花_3（坷+花）+4二疋乂―4亡+1=亡江7二'~T牡-迢+花）+4一壬4—4-1加+16疋+4一牙4P"4*4亡+1考点：1、椭圆的方程及儿何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、直线的斜率.【思路点睛】解决直线和椭圆的综合问题时注意：笫一步，根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程；第二步，联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程；笫三步，求解判别式第四步，写出根与系数的关系；第五步，根据题设条件求解问题中结论.21.（本小题满分12分）己知函数f（^x）=x-—-a x{ae/?）.x（1）当G>0时，讨论/（劝的单调区间；(2)设g(x)=/(x)+2alnx,且g(兀)有两个极值点为xpx2,其中g(0,e],求g（£）-g（兀2）的最小值.【答案】（1）当0<虫2吋，递增区间为（0,+oo）,无递减区问；当a>2吋递增区间为 ci—yjcr—4a+Jcr—4,a_J_4ci+Jcr—44）,（（0,）,（,+8）,递减区间为（,）；（2）一一2222e【解析】试题分析：（1）首先求出函数定义域，然后求出导函数，从而分0<。《2、a>2坟和函数单调区间：（2）首先求出函数定义域，然后求出导函数，利用韦达定理得到K坷）-g（花）的表达式，从而构造新函数，通过求导研究新函数的单调性，并求得其最小值，进而得到/可）-/花）的最小值.试题解析：（1）才（力的定义域（Q+s）,/（x）=14-^--=—―,令才‘0）=0,得/_心+1=0,xxx①当0<°兰2日寸，A=«2-4<0,此时，X（x）>o恒成立，所儿/（力在定义域（0:-H»）上单调递増；②当«>2B寸，A=«2-4>0,解X2—g+1=0的两根为西=°_¥_4当xe（0^~7~4）时，O）单调递増；当兀已（上茸卫,吐学±）时,/（X）<0,才（乂）单调递减;当兀E（G+£2_4,_W）时,f（力>0,/（力单调递増；Z综上得，当0<*2时，/（力的递増区间为（0,+©,无递减区间；当。>2时，/（力的递増区间为（0-忙）,严呼刁严）,递减区间为氓匕）.（2）g（x）=x+axx,定义域为（0,-Ko）,X .x.1ax2+6zx+lg（兀）=1+=+_=2X对，令g（x）=o，得A：2+6ZX+1=0,其两根为X］,兀2，且g（^）-g（兀2）=g（K）一g（—）=西+aln兀I-（西+aln—）—2（x））+aIn兀］=2（兀］）—2（兀］T—）In兀］•设/1（X）=2（X2（X+-）InX,XG（O,£],XX••宀、C/11、nr/1Iz1、1]2（1+兀）（1一％）InX./?（%）=2（1+—）-2|（1—-）In兀+（x+—）一]=一■—-——,XXXXX当xe（O,e]时，恒有/讥兀）50,・・・/2（切在（0,刃上单调递减；24・•*（兀）min=/?（£）=__，・・・（&（兀|）_«?（兀2））罰=__•ee考点：请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB是圆O的一条切线，切点为B,直线ADE,CFD,CGE都是圆O的割线，已知AC=AB. DF（1）若CG=1,CZ）=4,求——的值；GF（2）求证：FG//AC.【答案】（1）4；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）首先利用四点共圆的性质推出&CGF〜&CDE,从而利用相似比即可求解；（2）苜先利用切割线定理及已知条件证明SC〜MCE,从而利用相似三角形的性质使问题得证.试题解析：（1）由题意可得：G,E,D,F四点共圆，・•・ZCGF=ZCDE二ZCFG=ZCED,:.氐CGFsMDE,,GFCG df乂・・・CG=1,CD=4,・・・一=4.GF(2)因为AB为切线，AE为割线，AB2=AD^AE,又因为AC=ABf所以AD^AE=AC2.An所以——=—,又因为ZEAC=ZDAC,所以AADC-AACE,ACAE所以ZADC=ZACE,又因为ZADC=ZEGF,所以ZEGF=ZACE,所以FG//AC.考点：1、三角形相似；2、切割线定理23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy,以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极出标系，P点的极lJrx=2cos&坐标为（2叫），曲线C的参数方程为『=j+2讪（。为参数）•（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；（2）若Q为曲线C上的动点，求P0中点M到直线/：Qcos&+2°sin&+1=0的距离的最小值.【答案】（1）P（3,能），F+（y+希）2=4；（2）—-1.2【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式得出尸点的直角坐标，消去参数0即得曲线C的直角坐标方程；（2）苜先把曲线C的直角坐标方程化为参数方程，设了点的坐标，然后根据点到直线的距离公式列出表达式，再根据三角函数的值域求距离的最小值.试题解析：（1）点尸的直角坐标（3,曲），由IX~/°S・，得/+0+3）2=4,y=—^j3+2sid6所臥曲线C的直角坐标方程为X2+O+击尸=4・）x=2cos0r-.（&为参数力直线彳的普通方程为才+2尹+1=0,y=—+2siii03siD0,那么点M到直线/的距离□设Q(2cos0,^5+2sin&),则M(—+ss23I—+cos0+2sin0+1Vl2+22II府血（0+少）+号| 所以点M到直线/的最小距离为—-1.2考点：1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数方程和普通方程的互化；3、点到直线的距离.24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数/(兀)=|x-l|.(1)解不等式/(x)+/(x+4)>8；(2)若aa/(-).a【答案】(1){x|x<-5nJU>3}；(2)见解析.【解析】试题分析：(1)利用零点分段法将原函数写成分段函数的形式，然后分段求出相应解集，最后取并集即可;(2)利用分析法,要证f(ab)>，即nab-l>b-a,然后作差证明即可.a-2x-2:x<-3试题解析：(1)/(x)+/(x+4)=|x-11+1x+31=4:-32x+2:x>l当充<一3日寸，由-2x-2>8,解得兀《一5：当-.日寸〉4—8不成立；当无aH寸,由2x+2>8,解得兀壬3・所以不等式/(x)+/(x+4)>8的解集为{xx<-5°£x>3}・(2)要证即lab-l>a-b・a因为a0?所以|力-1|A|。-切，故所证不等式成立.考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立；3、分析法的应用.