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1、【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第27讲等差数列与等比数列问题的精彩妙解再考纲要求：1•理解等差（比）数列的概念（定义、公差、等差中项）.掌握等差（比）数列的通项公式与前刀项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等差（比）关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等差数列与一次函数的关系.了解等比数列与指数函数的关系.4•掌握等差（比）数列的性质及其应用.爲基础知识回顾：一、等差（比）数列的定义通项公式及前n项和公式1•等差数列（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的
2、差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.表示为an+-aH=d（n^f〃为常数）.（提示：要注意定义中的“从第2项起”.如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列）.（2）等差中项：数列a,A,〃成等差数列的充要条件是A=字，其中4叫作a,〃的等差中项・（3〉通项公式：an=ai+（n—l）d.4.前舁项和公式：S„=“1+"。；"d=（如；""）".2等比数列（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为
3、零），那么这个数列就叫做等比数列.定义的表达式为竽=g・C2〉等比中项：G是皿与方的等比中项Oa,G,方成等比数列^G2=ab.（提示：在等比数列中每项与公比都不为0〉・｛nflpq=l,a~auqt1-q=1-q，狞1・二、等差（比）数列的性质1•数列｛给｝是等差数列，则其项的性质有：a”Qm（1）an=ain+（n—m）dfan=An+B等形式，d=n—m（其几何意义是点（"，a“），（加，如）所在直线的斜率等于等差数列的公差）.⑵若｛a“｝为等差数列，且k+l=m+n9（k,Z,mtw^N*）,则ak
4、+ai=am+an.(3)若仇｝是等差数列,公差为〃，则如ak+m9饷2,”，…伙，加WN)是公差为加的等差数列.2擞列｛為｝是等差数列，则其和的性质有：(1)数列S”「，S亦Sm，Sh”—S2m，…也是等差数列.(2)前兀项和公式s“=£/+s_知视为关于兀的一元二次函数，开口方向由公差d的正负确定；s”=@J尹也中⑷+如视为一个整体，常与等差数列性质结合利用“整体代换”思想解题.(3)在等差数列仏｝中，S“为其前n项和,则，①S2n=n(ai+a2n)=-=n(an+an4-i);②S2„-i=(2m-1
5、)為・(4)在等差数列｛心｝中，若项数为偶数2刀的等差数列｛«„｝：S2ll=n(al+a2ll)=-=n(an+an^).S偶一S奇=nd9営=皿・若项数为奇数(2/7+1)的等差数列｛讣S2ll+i=(2n+l)all+i.严=字•(其中S奇、S偶分别5偶an+iXn表示数列｛给｝中所有奇数项、偶数项的和)3•数列｛©｝是等比数列，则其项的性质有：⑴若m+it=p+q=2k(m,n9p,q,RWN*),则am-aH=ap-aq=ai；(2)在等比数列｛如中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a”,an
6、+k9知也，厲心，…为等比数列，公比为办4•数列｛心｝是等比数列，则其和的性质有：⑴公比不为一1的等比数列仏｝的前舁项和为S”，则S“，S2〃一S”，S3”一S2”仍成等比数列‘，其公比为当公比为一1时，Sn，S2“_S“,Sg—Sg不一定构成等比数列.'耀应用举例：类型一.等差数列的基本运算【例1][2017山东济南市高三摸底考试】已知｛给｝是公差为1的等差数列，必为｛给｝的前料项和，若S尸4S“则5)=・()1719A.^~B_C.10D.12【例2][2017沈阳质量检测】设必为等差数列｛冷｝的前几项和
7、,若血=1,公差d=2,S“+2_S“=36,则/iB.6C.7D.8【例3][2017河北衡水中学模拟】已知S”是数列｛禺｝的前"项和，血=1,血=2,偽=3,数列｛%+如i+给+2｝是公差为2的等差数列，则S25=()A.232B.233C.234D.235点评：等差数列运算的解题思路及答题步骤(1)解题思路：由等差数列的前舁项和公式及通项公式可知若已知⑷，d,/?,3S”中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解.如“题组练透”第4题易出现计算失误.(2)答题
8、步骤：步骤一：结合所求结论，寻找已知与未知的关系；步骤二：根据已知条件列方程求出未知量；步骤三：利用前〃项和公式求得结果。类型二、等差数列的性质及最值【例4】【2017河南洛阳统考】在等差数列｛如中，如+的=27—的必表示数列仏｝的前n项和，则SH=()A.18B・99C・198D.297【例5】【2017广东省珠海市高三摸底考试】已知｛给｝为等差数列，若如+血+如=5,如+血+他=10,则«
9、9+
