一道求离心率问题的多种解法

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1、一道求离心率问题的多种解法下面的这道题是衡水高考调研上的一道思考题，很多学生问起了这道题，说明很多学生在解决圆锥曲线离心率问题上没有明确的目标和灵活的思维方法，对于离心率的取值范围没有清晰的思路，下而就这道题我来谈谈个人的一些解法.一、提出问题22题面设置：设椭圆亠+・=l（d〉b〉0）的左、右焦点分别为片、代，如果椭圆上存在点P,使ZF,PF2=90°,求离心率幺的取值范围.二、解决问题处理办法一：巧用图形的儿何特性.因为ZF}PF2=90°,容易知P点的轨迹是以c为半径的圆，圆与椭圆必有交点，所以圆的半径必然大于或等于椭圆的短半轴，即c>b,即可解得e的范围.解：由ZF.PF2=90°,知

2、点P在以FlF2=2c为直径的圆上.又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有c>b^>c2>b2=a2-c2/7由此可得CE[—,1）2处理办法二：利用基本不等式.a2+b2>2ab^ab<^^・2解：由椭圆定义，有2a=PF}+PF2两边平方得滋TP和+

3、足f+2

4、年

5、.

6、昭

7、由基本不等式2阿

8、•阳<2严*阳尸=2/又在Rt'RPF?中,由勾股定理得+

9、P77

10、2=

11、/7/7

12、2=4c2gI所以4^WP£f+

13、⑦f+2

14、年

15、.屮£

16、54€2+2^,g

17、j4fz2<4c2+2«2解得—>-.cr2/y所以有ee[^,1)•2222处理方法三：利用曲线中变量的范围，在椭圆亠+―=

18、l(Q>/?>0)中，-4=l-^v>0ab~b~cr解得-再根据题目中的限制条件用a,b,c表示兀，即x=(p(a,b,c),然后代入不等^-a<(p(a,b,c)

19、2。7/2联立方程产歹，消y,解得x2=ac~~aJ==勺abx+y=c又因为ZF.PF,=90°,故0

20、'cr-b~解不等式①，结合椭圆的离心率范围为濮(0,1),可得*［出,1)・2处理办法四：根据二次方程实根存在的条件.如果a+b=m,ab=n,则实数a,b为二次方程x2-mx+n=0的两根，由椭圆的定义

21、P用+

22、PF2=2a,又由AFf巧为直角三角形,解得IPF】

23、•IPF2=2(a2-c2)，则P^[PF2是方程t2-2at+2(a2-c2)=0的两根，即二次方程有实数根，故△»()可得关于g,c的齐次不等式，解得丘的范围.解:由椭圆定义知：『好

24、+

25、PF2=2a①将①式平方得：IPFX

26、2+PF212+2PF}^PF2=4a2又ZF}PF2=90°,贝ijPF^

27、+PF21=F]F21=4c2解得PF}-PF2=2(a2-c2)②由①②可知，PFi.PF2

28、是方程t2-2at+2(a2-c2)=0的两个实根所以△=4夕—8(<22-c2)>0=二~2丄=>(?>,a222又椭圆的离心率范围为肚(0,1),可得eef—,1)・2处理办法五：利用焦半径•椭圆的焦半径PF=a+exQ,PF2=a-exQf其中兀。为P点的横坐标•在RtF,PF2中，由勾股定理构造关于兀。的方程，解得xRabc),然后根据-ab>0)中，由焦半径公式crtr=a+ex9

29、P坊

30、=a-ex又

31、在RtAF}PF2屮，由勾股定理得『片笃『=

32、片町，即"2_“2cr+lex+e2x2+-lex+e2x2=4c2,解得F=——又点、P0y)在椭圆上，且2±g贝iJ^0

33、¥＜込¥"离心率的范围为呵纽）.三、方法总结与结束语上述解决办法按照难易程度排序，处理办法一、二和四简单明了，计算量不大，但是技巧性较强，学生不容易想到，处理办法三和五是常规方法，学生容易想到这样的思路，在教学中大部分老师讲解的应该也是这种方法，因为这是解决该类问题的通法，但是该方法对学生的计算要求较高，方法五种，焦半径的应用，学生可能记不住焦半径公式。对于方法六，用了两个不常用的公式，其一：等比