2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第37讲 等比数列的概念及基本运算 含答案

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1、第37讲　等比数列的概念及基本运算　　　　　　　　　　　1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式，前n项和公式及其性质．3．能运用等比数列的概念、公式及性质解决相关问题．知识梳理1．等比数列的概念(1)定义：如果一个数列从第二项起，　每一项与前一项的比　等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，首项记作a1，公比记作q.(2)表示形式：　＝q(n∈N*)　.(3)等比中项：如果三个数a，G，b成　等比数列　，那么G叫做a，b的等比中项，即　G2＝ab　.(4)通项公式：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝　a1·qn－

2、1　.2．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·　qn－m　(m，n∈N*)．(2)在等比数列{an}中，若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝　ap·aq　.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．3．等比数列前n项和公式(1)等比数列{an}的公比为q，其前n项和公式为Sn，当q＝1时，Sn＝　na1　；当q≠1时，Sn＝　　＝　　.(2)等比数列前n项和公式的性质：若{an}是公比为q(q≠－1)的等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n

3、－S2n，…仍为等比数列，且公比为　qn　.1．等比数列{an}的单调性(1)满足或时，{an}是递增数列．(2)满足或时，{an}是递减数列．(3)满足时，{an}是常数列．(4)满足q<0时，{an}是摆动数列．2．等比数列前n项和公式的特征：当等比数列的公比q≠1时，Sn＝Aqn＋B⇔A＋B＝0.热身练习1．等比数列－，，－，…的通项公式是(A)A．an＝(－)nB．an＝(－)n＋1C．an＝－()nD．an＝－()n＋1　因为数列是等比数列，又a1＝－，公比q＝－，所以an＝a1·qn－1＝(－)n.2．(2018·北京卷)设a，b，c

4、，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(B)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件　a，b，c，d是非零实数，若a＜0，d＜0，b＞0，c＞0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．3．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(B)A．21　

5、B．42C．63D．84　设等比数列的公比为q，则a1＋a1q2＋a1q4＝21.又因为a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，解得q2＝2，所以a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝42.4．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(D)A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列　从项的下标入手寻找规律，下标成等差数列，对应的项成等比数列．因为a＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．5．等比数列{an}中，a3＝7，前3项的和为S3＝21，则公比q的值为(C

6、)A．1B．－C．1或－D．－1或　当q＝1时，a1＝a2＝a3＝7，S3＝21，故q＝1满足，排除B，D；当q＝－时，a1＝＝28，a2＝＝－14，S3＝a1＋a2＋a3＝21，所以q＝－也满足，故选C.　　　　　　　　　　　等比数列的基本量的运算等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝____________.(方法一)当q＝1时，S3＝3a1，S2＝2a1，由S3＋3S2＝0得，9a1＝0，所以a1＝0与{an}是等比数列矛盾，故q≠1.当q≠1时，由S3＋3S2＝0得，＋＝0，解得q＝－2.(方法二)由S3＋3S2

7、＝0得，a1(1＋q＋q2)＋3a1(1＋q)＝0，因为a1≠0，所以q2＋4q＋4＝0，所以q＝－2.－2(1)解决等比数列问题，关键是抓住首项a1和公比q，求解时，要注意方程思想的运用．(2)运用等比数列求和公式时，要注意公比q是否为1.当n较小时，直接利用前n项和的意义展开，不仅可避开公比q的讨论，还可使求解过程简捷．1．(2017·江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝　32　.设{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1，所以解得所以a8＝×27＝25＝32.等比数列的性质及应用(1)已知

8、{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝A．7B．5C．－5D．－7(2)公比不为1的等比数列{an}中前1