2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第44讲 基本不等式 含答案

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1、第44讲　基本不等式　　　　　　　　　　　1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件．2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大(小)值问题．知识梳理1．基本不等式≥(1)基本不等式成立的条件：　a>0，b>0　.(2)等号成立的条件：当且仅当　a＝b　时不等式取等号．2．几个重要不等式(1)a2＋b2≥　2ab　(a，b∈R)；(2)＋≥　2　(a，b同号)；(3)ab≤()2(a，b∈R)；(4)　≥　()2.3．基本不等式求最值(1)两个　正数　的和为　定值　，当且

2、仅当它们　相等　时，其积最大．(2)两个　正数　的积为　定值　，当且仅当它们　相等　时，其和最小．利用这两个结论可以求某些函数的最值，求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件．热身练习1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(D)A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2C.＋>D.＋≥2　A、C中，a＝b时不成立，B中，当a与b均为负数时不成立，而对于D，利用基本不等式x＋y≥2(x>0，y>0)成立，故选D.2．已知a，b为正数，则下列不等式中不成立的是(D)A．ab≤B．ab≤

3、()2C.≥D.≥　易知A，B成立，对于C，因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，所以≥()2，所以≥，故C成立．对于D，取a＝4，b＝1，代入可知，不等式不成立，故D不成立．由以上分析可知，应选D.3．周长为60的矩形面积的最大值为(A)A．225B．450C．500D．900　设矩形的长为x，宽为y，则2(x＋y)＝60，所以x＋y＝30，所以S＝xy≤()2＝225，即Smax＝225.当且仅当x＝y＝15时取“＝”，故选A.4．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则

4、f(x)(A)A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数　f(x)＝－[(－2x)＋(－)]－1≤－2－1，当且仅当x＝－时，等号成立，所以函数f(x)有最大值，所以选A.5．(2017·山东卷)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为　8　.　因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，所以＋＝1，所以2a＋b＝(2a＋b)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时，等号成立．故2a＋b的最小值为8.　　　　　　　　　　　利用基本不等式判断大小

5、关系下列不等式一定成立的是A．x2＋1>2x(x∈R)B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1＋>2(x>0)D．x≥(x>0)对于A，当x＝1时，x2＋1＝2x，A不正确．对于B，需要满足sinx>0，不等式成立，所以B也不正确；对于C，x2＋1＋≥2，当且仅当x2＋1＝，即x＝0时，取等号，但x>0，所以不等式不能取到等号，故C正确．对于D，当0

6、福建莆田模拟)下列结论正确的是(C)A．当x>0且x≠1时，lgx＋≥2B．当x∈(0，)时，sinx＋的最小值为4C．当x>0时，＋≥2D．当00时，＋≥2＝2，当且仅当x＝1时，等号成立；对于D，当0

7、2)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．　　(1)y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时，取等号．故当x＝1时，ymax＝1.(2)(方法一)因为x>0，y>0，＋＝1，所以x＋y＝(＋)(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16.当且仅当＝，且＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.(方法二)由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)，可知x>1，y>9，从而x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10

8、≥2＋10＝16，所以当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.(1)利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”三个条件．所谓“一正”指正数，“二定”是指应用不等式时，和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．(2)利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，再利用基本不等式．2．(1)若x>0，y>0，且2x＋3y＝6，则xy的最大值为　　.(2)(2018·江苏杭州一模)若对任意的x>1，≥a恒成立，