2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第6讲　函数的单调性 含答案

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1、第6讲　函数的单调性　　　　　　　　　　　1．理解函数的单调性及其几何意义．2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．3．能够熟练地应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．知识梳理1．函数的单调性的定义给定区间D上的函数f(x)，若对于　任意的x1，x2　∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)　＜　f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数．对于　任意的x1，x2　∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)　＞　f(x2)，则f(x)为区间D上的减函数．2．函数的单调区间的定义如果函数y＝f(x)在某个区间D上是　增函数　或是　减函数　，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)

2、单调性，区间D叫做y＝f(x)的　单调区间　.如果函数是增函数，则称区间D为　增区间　，如果函数是减函数，则称区间D为　减区间　.3．单调函数的图象特征增函数的图象是　上升　的(如图1)，减函数的图象是　下降　的(如图2)．图1　　　图21．单调性定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0>0f(x)在[a，b]上是　增函数　；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0<0f(x)在[a，b]上是　减函数　.2．判断单调性的常用结论(1)若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)为　增(减

3、)　函数．(2)若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为　减(增)　函数．(3)y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为　增函数　；若f(x)，g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为　减函数　.(4)已知函数y＝f(x)，给定区间D，若对D内任意的x，f′(x)>0，则函数在区间D上单调　递增　；若对D内任意的x，f′(x)<0，则函数在区间D上单调　递减　.热身练习1．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1

4、)＝(x－1)2C．f(x)＝－exD．f(x)＝ln(x＋1)　根据单调性的定义，满足条件的函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，分别作出选项A，B，C，D的图象(如下图)，根据图象特征进行判断．由图象可知，应选D.2．(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是(D)A．y＝B．y＝cosxC．y＝ln(x＋1)D．y＝2－x　选项A中，y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y＝在(－1,1)上为增函数；选项B中，y＝cosx在(－1,1)上先增后减；选项C中，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y＝ln(x＋1)在(－1,1)上为

5、增函数；选项D中，y＝2－x＝()x在R上为减函数，故y＝2－x在(－1，1)上为减函数．3．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为(D)A．[1,2]B．(1,2)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(－∞，1]∪[2，＋∞)　因为二次函数的单调性以对称轴为分界线，故顶点的横坐标不能落在区间(1,2)内，所以a≥2或a≤1.4．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为(B)A.B.C．2D．4　因为y＝ax与y＝loga(x＋1)的单调性相同，所以f(x)＝ax＋loga(x＋1)是

6、单调函数，其最大值和最小值分别在端点处取得，所以最值之和为f(0)＋f(1)＝a0＋loga1＋a＋loga2＝a.所以loga2＋1＝0，所以a＝.5．(2018·杭州期中)函数f(x)＝log(4－x2)的单调递增区间为　[0,2)　.　函数的定义域是(－2,2)．u＝4－x2的递减区间为[0,2)，又因为<1，根据复合函数的单调性可知，函数f(x)的递增区间为[0,2)．　　　　　　　　　　　　单调性的判定与证明证明函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，)上是减函数．因为没有要求一定要用定义进行证明，因此，除定义证明外，还可考虑用导数进行证明．(方法一)设0

7、，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)＝(x1－x2)＋(－)＝(x1－x2)()．因为00，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝x＋在(0，)上是减函数．(方法二)因为0