2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第29讲 正弦定理、余弦定理的综合应用 含答案

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1、第29讲　正弦定理、余弦定理的综合应用　　　　　　　　　　　1．进一步掌握正弦定理、余弦定理的应用．2．能利用正弦定理、余弦定理解决有关实际应用问题．3．能利用正弦定理、余弦定理解决与三角形的形状，面积等有关综合问题．知识梳理1．解三角形在实际问题中的应用三角形的实际应用题实质还是求解三角形，应掌握实际问题的常用角：方向角、方位角、仰角、俯角等概念，并掌握求解实际问题的一般步骤和方法．(1)有关角的概念①方向角：指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成：正北或正南，北偏东30°，北偏西30°，南偏东30°，南偏西30°等．

2、②方位角：指从正北方向　按顺时针　旋转到目标方向线的夹角．③俯角、仰角：指视线与水平线所成的角，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．如图中OD，OE是视线，∠DOC是　仰　角，∠EOC是　俯　角．(2)用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤①审题：理解题意，分清已知和未知，画出示意图．②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与未知量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．2．三角形的常用面积公式(1)S△ABC＝a·ha

3、(其中ha表示边a上的高)；(2)S△ABC＝absinC＝　bcsinA　＝　acsinB　；(3)S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r为三角形内切圆的半径)．三角形的面积是与解三角形息息相关的内容，经常出现在解答题中，难度不大．出现的题型有：(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的各个边角后，直接求三角形的面积．(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．热身练习1．若点A在点B的北偏西30°，则B在点A的(C)A．西偏北30°B．西偏北60°C．南偏东30°D．东偏南30°　如图，可知B在A的南偏东30°.2．如图，某河段的两岸视为平行，在

4、河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝200米，则A，C两点的距离为(B)A.米B.米C.米D.米　如图，∠C＝60°，由正弦定理知＝，所以AC＝×＝.3．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为(A)A.mB.mC.mD.m　画出示意图，如下图，在△ABC中，＝sin60°，所以BC＝，在△BCD中，＝，即＝，所以CD＝(m)．4．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是(B)A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形　(方法一：转化为边的关系进行判断

5、)由正弦定理及余弦定理得2a·＝c，所以a2＋c2－b2＝c2，所以a＝b，故△ABC是等腰三角形．(方法二：利用角的关系进行判断)2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，所以sinAcosB－cosAsinB＝0，所以sin(A－B)＝0，因为－π

6、absinC＝×6×＝.　　　　　　　　　　　解三角形在实际问题中的应用(经典真题)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100m，所以AC＝100m．在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°.由正弦定理得＝，所以AM＝100m.在Rt△MNA中，AM＝100m，∠MAN＝60°，由＝sin60°得MN＝100×＝150m.1

7、50(1)解决实际应用问题的过程都要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．(2)转化为解三角形模型后，通常会遇到如下两种情况：①已知量与未知量全部集中在某一个三角形中，此时直接利用正弦定理或余弦定理；②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择满足条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余三角形中求出问题的解．1．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得