2019年高考数学总复习检测第29讲　正弦定理、余弦定理的综合应用.pdf

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1、第29讲　正弦定理、余弦定理的综合应用1．在△ABC中，若sin2A＋sin2Bc)，则b－c＝2，cosA＝，则sinA＝，所以S△ABC＝bcsin5522A＝bc＝14，所以bc＝35.5所以b＝7，c＝5.3．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则

2、河流的宽度BC等于(C)A．240(3－1)mB．180(2－1)mC．120(3－1)mD．30(3＋1)m如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60m，AD60在Rt△ACD中，CD＝＝＝603m，tan∠ACDtan30°AD6060在Rt△ABD中，BD＝＝＝tan∠ABDtan75°2＋3＝60(2－3)m，所以BC＝CD－BD＝603－60(2－3)＝120(3－1)m.4．(2016·山东卷)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝(C)3ππA.B.43ππC.D.46因为b＝c，所以

3、B＝C.πA又由A＋B＋C＝π得B＝－.22由正弦定理及a2＝2b2(1－sinA)得sin2A＝2sin2B(1－sinA)，πA即sin2A＝2sin2(－)(1－sinA)，22A即sin2A＝2cos2(1－sinA)，2AAA即4sin2cos2＝2cos2(1－sinA)，222AA整理得cos2(1－sinA－2sin2)＝0，22A即cos2(cosA－sinA)＝0.2AπA因为0

4、0°，则A、C两点间的距离是6千米．在△ABC中，∠ACB＝180°－60°－75°＝45°.AC2由正弦定理得＝，解得AC＝6.sin60°sin45°6．(2017·浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，1510连接CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC＝.24依题意作出图形，如图所示，则sin∠DBC＝sin∠ABC.由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，115则cos∠ABC＝，sin∠ABC＝.441所以S△BDC＝BC·BD·sin∠DBC211515＝×2×2×＝.2421因为cos∠DBC＝－cos∠A

5、BC＝－，4所以CD＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝10.4＋10－410由余弦定理，得cos∠BDC＝＝.2×2×1047．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)已知△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且2cosB(ccosA＋acosC)＝b.(1)证明：A，B，C成等差数列；33(2)若△ABC的面积为，求b的最小值．2(1)证明：因为2cosB(ccosA＋acosC)＝b，所以由正弦定理得2cosB(sinCcosA＋sinAcosC)＝sinB，即2cosBsin(A＋C)＝sinB，在△ABC中，sin(A＋C)＝s

6、inB，且sinB≠0，1π所以cosB＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.232π又因为A＋B＋C＝π，所以A＋C＝＝2B，3所以A，B，C成等差数列．133(2)因为S△ABC＝acsinB＝，所以ac＝6.22所以b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac≥ac＝6.当且仅当a＝c时，取等号．所以b的最小值为6.8．在△ABC中，A∶B＝1∶2，∠C的平分线CD把三角形面积分成3∶2的两部分，则cosA＝(C)11A.B.323C.D．04因为∠C的平分线CD把三角形面积分成3∶2的两部分，BCACAC所以AC∶BC＝3∶2，＝＝，sinAsinBsin

7、2A233所以＝，所以cosA＝.sinA2sinAcosA49．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为3.abc因为＝＝＝2R，a＝2，sinAsinBsinC又(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，所以a2－b2＝c2－bc，所以b2＋c2－a2＝bc.b2＋c2－a2bc1所以＝＝＝cosA，所以A＝60°.2bc2bc2在△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－b