第1讲正弦定理与余弦定理的应用-讲义

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1、轮次：高中数学尖子生同步拔高课程专题：正弦定理及余弦定理的应用已知AABC的周长为V2+1,JLsinA+sinB=V2sinC・(I)求边朋的长；(II)若△ABC的面积为丄sinC,求角C的度数.6答案：(I)AB=(II)C=60°解析：设△ABC三个内角A,B,C所对的边分别为g,/?,c・(I)由题意及正弦定理，得a+b+c=V2+1,a+h=y/2c,两式相减,得(血+l)c=V2+1,所以c=1,即AB=1・(II)由AABC的面积丄6z/?sinC=-sinC,得必=丄，由余弦定理，263得cos

2、C=夕+Y2=⑺+疔—Mb—圧==丄，所以C=6(T・2ab2ab2ab2在'ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.证明■&广-泸_sin(A-B)c2sinC证明：由余弦定理知，a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB.整理，得/c2两式相减,得cr-b2=b2-a2-2/?ccosA+2tzccosB,accosB-becosAa“b’；二—•cosBcosA.a_sinAcsinCb_sinBcsinC又cccsinAcosB一cosAsinB_sin(A一B)sinCsin

3、C在△ABC中，ci、b、c分别为内角A、B、C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC(I)求A的大小；(II)若sinB+sinC=l,试判断△ABC的形状.答案：(丨)4=120。(II)AABC是等腰的钝角三角形解析：(I)由已知，根据正弦定理得2/=(2方+c)方+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,故cos，=4m=120°.(II)由①以及A=120。3sin2B+sin2C+sinBsinC=sin2A=—•4由sin3+

4、sinC=l两边平方，sin2B+sin2C+2sinBsinC=1,即sin2B+sin2C+sinBsinC=1-sinBsinC・31故l-sinBsinC=—,即sinBsinC=—•44结合sinB+sinC=1,解得sinB=sinC=—2因为0°

5、in(a+“)解析：在△BCD中，ZCBD二兀一(G+0)・由正弦定理得此=CI)sinZBDCsinZCBD所以BC二CD血ZBDC=Ssin0sinZCBDsin(a+0)在RtA.BC中‘需器