正弦定理与余弦定理的竞赛讲义1

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1、高中数学竞赛讲义──解三角形1.设的内角A、B、C的对边长分别为、、,且3+3-3=4.(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)求的值.2.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且8sin2－2cos2A＝7．（1）求角A的大小；（2）若a＝，b＋c＝3，求b和c的值．解:（1）∵A＋B＋C＝180°，∴＝90°－．∴sin＝．由8sin2－2cos2A＝7，得8cos2－2cos2A＝7．∴4(1＋cosA)－2(2cos2A－1)＝7，即(2cosA－1)2＝0．∴cosA＝　∵0°＜A＜180°，∴A＝

2、60°．（2）∵a＝，A＝60°，由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，∴3＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝9－3bc．∴bc＝2．又b＋c＝3，∴b＝1，c＝2或b＝2，c＝1．3.△中所对的边分别为，,.（1）求；4（2）若,求.【解析】(1)因为，即，所以，即，得.所以,或(不成立).即,得，所以.又因为，则，或（舍去）得(2)，又,即，得4.在△ABC中，、、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（2+b2）sin（A-B）=（2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.【解析】

3、方法一已知等式可化为2［sin（A-B）-sin（A+B）］=b2［-sin（A+B）-sin(A-B)］∴22cosAsinB=22cosBsinA由正弦定理可知上式可化为：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B＜2得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=-B,∴△ABC为等腰或直角三角形.方法二同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得2b=b2∴2(

4、b2+c2-2)=b2(2+c2-b2)即(2-2)(2+2-c2)=0∴=或2+2=c2∴△ABC为等腰或直角三角形.5.已知向量，其中A，B，C是锐角△ABC的内角，,,c分别是角A，B，C的对边.（1）求角C的大小；（2）求的取值范围.【解题思路】向量的数量积运算法则。向量垂直的判定。【解析】（1）由得4由余弦定理得（2）即.6.设的内角所对的边分别为且.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围.【解析】（1）由得又，，，又（2）由正弦定理得：,故的周长的取值范围为.（2）另解：周长由（1）及余弦

5、定理4又即的周长的取值范围为.7.（天津市河东区2009年高三一模）如图所示，在△ABC，已知,，AC边上的中线,求：（1）BC的长度；（2）的值。【解析】4