2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第28讲 正弦定理与余弦定理 含答案

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1、第28讲　正弦定理与余弦定理　　　　　　　　　　　1．掌握正弦定理、余弦定理．2．能利用这两个定理解斜三角形及解决与正弦定理、余弦定理有关的综合问题．知识梳理1．正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边和　它所对角的正弦的比　相等，并且都等于　外接圆的直径　，即　＝＝＝2R　.2．余弦定理余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的　余弦　的积的2倍，即：a2＝　b2＋c2－2bccosA　；b2＝　a2＋c2－2accosB　；c2＝　a2＋b2－2abcosC　.已知三角形的三边求各

2、角时，余弦定理变形为cosA＝　　；cosB＝　　；cosC＝　　.1．三角形边角关系(1)三角形三边的关系：①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边．(2)三角形边角关系：①三角形中，大边对大角；②三角形中，大角对大边．(3)三角形三角关系：A＋B＋C＝π.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(2)sin＝cos；(4)cos＝sin.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA，c＝

3、bcosA＋acosB.4．解三角形的四种基本类型(1)已知两角及任一边，求另一角和两边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边及另两角；(3)已知两边和它们的夹角，求另一边及另两角；(4)已知三边，求三角．热身练习1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asinB＝b，则角A等于(D)A.B.C.D.　因为2asinB＝b，由正弦定理得2sinAsinB＝sinB，所以sinA＝，因为0

4、则ab的值为(A)A.B．8－4C．1D.　由(a＋b)2－c2＝4得a2＋b2＋2ab－c2＝4，由C＝60°得cosC＝＝＝，解得ab＝.3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝(D)A.B.C．2D．3　由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.4．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝　　.　在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝

5、，所以sinA＝，sinC＝，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.又因为＝，所以b＝＝＝.5．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝　75°　.　如图，在△ABC中，已知C＝60°，b＝，c＝3.由正弦定理，得＝，所以sinB＝.又c＞b，所以B＝45°，所以A＝180°－60°－45°＝75°.　　　　　　　　　　　求一个三角形中的有关元素(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b

6、，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　)A.B.C.D.因为a＝2，c＝，所以由正弦定理可知，＝，故sinA＝sinC.又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0.又C为△ABC的内角，故sinC≠0，则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝.从而sinC＝s

7、inA＝×＝.由A＝知C为锐角，故C＝.B(1)三角形可解类型有四类，求解时，可画出示意图，并将有关数据在示意图中标示，弄清所求解三角形是可解三解三角形中的哪一类，再根据相应类型运用正弦定理或余弦定理进行求解．(2)已知两边和其中一边的对角(如a，b，A)应用正弦定理时，有一解、两解和无解等情况，可根据三角函数的有界性、三角形内角和定理或“三角形中大边对大角”来判断解的情况，做出正确的取舍．若求另一条边，可选择余弦定理进行求解．1．(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b

8、＝2，A＝60°，则sinB＝　　，c＝　3　.如图，由正弦定理＝，得sinB＝·sinA＝×＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cosA，得7＝4＋c2－4c×cos60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．求多个三角形中的有关元素(2018·抚州南城二中月考)在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求A