一轮复习配套讲义：第3篇 第6讲 正弦定理和余弦定理

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1、第6讲　正弦定理和余弦定理[最新考纲]掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则正弦定理余弦定理内容＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝a2＋c2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝；cosB＝；cosC＝解决

2、的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S＝ah(h表示边a上的高)．(2)S＝bcsinA＝absinC＝acsinB.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．辨析感悟1．三角形中关系的判断(1)在△ABC

3、中，sinA＞sinB的充分不必要条件是A＞B.(×)(2)(教材练习改编)在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，则A＝60°或120°.(√)2．解三角形(3)在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，则sinB＝.(√)(4)(教材习题改编)在△ABC中，a＝5，c＝4，cosA＝，则b＝6.(√)3．三角形形状的判断(5)在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，则此三角形是钝角三角形．(√)(6)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则此三角形是锐角三角形．(×)[感悟·提升]1．一条规律　在三角形中，大角对

4、大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB，如(1)．2．判断三角形形状的两种途径　一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.学生用书第63页考点一　利用正弦、余弦定理解三角形【例1】(1)(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　A.B.C.D.(2)(2014·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a

5、＝1，c＝4，B＝45°，则sinC＝______.解析　(1)在△ABC中，由正弦定理及已知得2sinA·sinB＝sinB，∵B为△ABC的内角，∴sinB≠0.∴sinA＝.又∵△ABC为锐角三角形，∴A∈，∴A＝.(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－8×＝25，即b＝5.所以sinC＝＝＝.答案　(1)A　(2)规律方法已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【训练1】(1)在△ABC

6、中，a＝2，c＝2，A＝60°，则C＝(　　)．A．30°B．45°C．45°或135°D．60°(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝(　　)．A．30°B．60°C．120°D．150°解析　(1)由正弦定理，得＝，解得：sinC＝，又c＜a，所以C＜60°，所以C＝45°.(2)∵sinC＝2sinB，由正弦定理，得c＝2b，∴cosA＝＝＝＝，又A为三角形的内角，∴A＝30°.答案　(1)B　(2)A考点二　判断三角形的形状【例2】(2014·临沂

7、一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝，试判断△ABC的形状．解　(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝＝，∴A＝60°.(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°.由sinB＋sinC＝，得sinB＋sin(120°－B)＝，∴sinB＋sin120°cosB－co

8、s120°sinB＝.∴sinB＋cosB＝，即sin(B＋30°)＝1.∵0°