第22讲 正弦定理和余弦定理.doc

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1、第22讲　正弦定理和余弦定理1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形为：cosA＝，cosB＝，cosC＝.3．S△ABC＝absinC＝bcsinA＝a

2、csinB＝＝(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，

3、求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．6．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．7．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的

4、角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方点顺时针转到目标方点线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方点角：相对于某正方点的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际

5、问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．一例题1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于(　　)．A．5B．10C.D．52．在△ABC中，若＝，则B

6、的值为(　　)．A．30°B．45°C．60°D．90°3．在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于(　　)．A．30°B．45°C．60°D．75°4．在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为(　　)．A．3B．2C．4D.5．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－ab，则此三角形的最大内角为________．6．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)

7、．A．50mB．50mC．25mD.m7．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　)．A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°8．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)．A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°9．一船点正北航行，看见正西方点相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时(　　

8、)．A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里10．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．考点一　利用正弦定理解三角形11在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A，C和边c.(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另