正弦定理和余弦定理.doc

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1、04—正弦定理和余弦定理突破点(一)　利用正、余弦定理解三角形利用正弦定理解三角形利用正弦定理可以解决的两类问题:(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况.[例1]　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a>b，则B＝(　　)A.B.C.D.(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.[解析]　(1)利用正弦

2、定理的变形，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入asinBcosC＋csinBcosA＝b中，得2RsinA·sinBcosC＋2RsinCsinBcosA＝×2RsinB，所以sinAcosC＋sinCcosA＝，即sin(A＋C)＝，所以sinB＝.已知a>b，所以B不是最大角，所以B＝.(2)在△ABC中，∵sinB＝，0

3、角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断．　利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解决的两类问题：(1)已知两边及夹角，先求第三边，再求其余两个角．(2)已知三边，求三个内角．[例2]　(1)在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则这个三角形的最大边等于(　　)A．4B．14C．4或14D．24(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC＋c＝b，则A＝________.[解析]　(1)因为a－b＝4，所以b＝a－4且a>b.又a＋c＝2b，所以c＝a－8，所以a大于c，则A＝120°

4、.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(a－4)2＋(a－8)2－2(a－4)·(a－8)·，所以a2－18a＋56＝0.所以a＝14或a＝4(舍去)．故选B.(2)由余弦定理得cosC＝，将其代入acosC＋c＝b中得，a×＋c＝b，化简整理得b2＋c2－a2＝bc，于是cosA＝＝，所以A＝.[答案]　(1)B　(2)利用正、余弦定理解三角形[例3]　设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a的值；(2)求sin的值．[解]　(1)因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB.由正、余弦定理，得

5、a＝2b·.因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2.(2)由余弦定理，得cosA＝＝＝－.因为0

6、2a2＋b2，则△ABC是钝角三角形．2．判断三角形形状的常用技巧：若已知条件中既有边又有角，则：(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.利用正、余弦定理判断三角形的形状[典例]　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

7、锦州模拟)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形[解析]　(1)已知0，于是有cosB<0，则B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．(2)∵cos2＝，∴＝，即1＋cosB＝.由余弦定理得1＋＝.整理得