北师大版2020版新一线高考文科数学一轮复习课后限时集训13变化率与导数、导数的计算含解析

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1、课后限时集训(十三)(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．已知函数f(x)＝x－，f′(x)是f(x)的导函数，则f′(1)－f(1)＝(　　)A．2　　B．e　　　　C．1　　　　D．－eB　[f′(x)＝1－，则f′(1)＝1，又f(1)＝1－e，所以f′(1)－f(1)＝1－(1－e)＝e，故选B.]2．曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为(　　)A．(1－e)x－y＋1＝0B．(1－e)x－y－1＝0C．(e－1)x－y＋1＝0D．(e－1)x－y－1＝0C　[由于y′＝e－，所以y′

2、x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－lnx在点(1，e)

3、处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0，故选C．]3．曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，则的值为(　　)A．－B．－C．D．D　[y′＝ex＋xex，则y′

4、x＝1＝2e.∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，∴－＝－，∴＝.]4．(2019·广州模拟)已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)A．eB．－eC．D．－C　[设切点坐标为(x0，y0)，由y′＝得y′

5、x＝x0＝，由题意知＝，即y0＝1，∴lnx0＝1，解得x0＝e，因此切线的斜率为，故选C．]5．已知奇函数

6、y＝f(x)在区间(－∞，0]上的解析式为f(x)＝x2＋x，则曲线y＝f(x)在横坐标为1的点处的切线方程是(　　)A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．3x－y－1＝0D．3x－y＋1＝0B　[当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x，又f(－x)＝－f(x)，则－f(x)＝x2－x，即f(x)＝－x2＋x，∴f′(x)＝－2x＋1，∴f′(1)＝－1，又f(1)＝0.因此所求切线方程为y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0，故选B.]二、填空题6．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)

7、的值为________．3　[因为f(x)＝(2x＋1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，所以f′(0)＝3e0＝3.]7．若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.　[因为y′＝2ax－，所以y′

8、x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝.]8．如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.0　[由题图可知曲线y

9、＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.]三、解答题9．已知函数f(x)＝x3＋.(1)求函数f(x)在点P(2,4)处的切线方程；(2)求过点P(2,4)的函数f(x)的切线方程．[解]　(1)根据已知得点P(2,4)是切点且y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′＝4，∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)

10、的切线相切于点A，则切线的斜率为y′＝x，∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝xx－x＋.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.10．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围．[解]　(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，所以当x＝2时，y′＝－1，

11、y＝，所以斜率最小的切线过点，斜率k＝－1，所以切线方程为x＋y－＝0.(2)由(1)得k≥－1，所以tanα≥－1，所以α∈∪.B组　能力提升1．(2019·青岛模拟)若函数y＝f(x)的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是(　　)A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x3A　[若y＝f(x)的图像上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A：y′＝cosx，若有c