1、课时作业13 变化率与导数、导数的计算 一、选择题1．(2019·泰安一模)给出下列结论：①若y＝log2x，则y′＝；②若y＝－，则y′＝；③若f(x)＝，则f′(3)＝－；④若y＝ax(a>0)，则y′＝axlna.其中正确的个数是( D )A．1B．2C．3D．42．已知函数f(x)＝(e是自然对数的底数)，则其导函数f′(x)＝( B )A.B.C．1＋xD．1－x解析：函数f(x)＝，则其导函数f′(x)＝＝，故选B.3．若函数f(x)＝x3－x＋3的图象在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为( C )A．(1,3)B．(－1,3)C．(1,3)或(－1,3)D．(1
2、，－3)解析：f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，即3x2－1＝2⇒x＝1或－1，又f(1)＝3，f(－1)＝3，所以P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故点P的坐标为(1,3)或(－1,3)．4．(2019·合肥市质量检测)已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是( B )A.B．1C．2D．e解析：由题意知y′＝aex＋1＝2，则a>0，x＝－lna，代入曲线方程得y＝1－lna，所以切线方程为y－(1－lna)＝2(x＋lna)，即y＝2x＋lna＋1＝2x＋1⇒a＝1.5．曲线y
3、＝2lnx上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为( A )A.B．2C．3D．2解析：设与直线2x－y＋3＝0平行且与曲线y＝2lnx相切的直线方程为2x－y＋m＝0.设切点为P(x0，y0)，∵y′＝，∴斜率k＝＝2，解得x0＝1，因此y0＝2ln1＝0，∴切点为P(1,0)，则点P到直线2x－y＋3＝0的距离d＝＝，∴曲线y＝2lnx上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.6．(2019·福州质检)过点(－1,1)与曲线f(x)＝x3－x2－2x＋1相切的直线有( C )A．0条B．1条C．2条D．3条解析：设切点P(a，a3－a2－2a＋1)，由f′(x)＝3x2－2x－2，当a≠－
4、1时，可得切线的斜率k＝3a2－2a－2＝，所以(3a2－2a－2)(a＋1)＝a3－a2－2a，即(3a2－2a－2)(a＋1)＝a(a－2)(a＋1)，所以a＝1，此时k＝－1.又(－1,1)是曲线上的点且f′(－1)＝3≠－1，故切线有2条．7．已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，则实数m的取值范围是( B )A.B.C.D．(e，＋∞)解析：由题意知，方程f′(x)＝－有解，即ex－m＝－有解，即ex＝m－有解，故只要m－>0，即m>即可，故选B.8．给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，
5、若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝3x＋4sinx－cosx的拐点是M(x0，f(x0))，则点M( B )A．在直线y＝－3x上B．在直线y＝3x上C．在直线y＝－4x上D．在直线y＝4x上解析：f′(x)＝3＋4cosx＋sinx，f″(x)＝－4sinx＋cosx，结合题意知4sinx0－cosx0＝0，所以f(x0)＝3x0，故M(x0，f(x0))在直线y＝3x上．故选B.二、填空题9．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝－3.解析：y′＝(ax＋1＋a)ex
