2019版高考数学复习函数导数及其应用课时达标13变化率与导数导数的计算理

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1、课时达标 第13讲[解密考纲]本考点主要考查导数的计算和曲线的切线问题,涉及导数的问题,离不开导数的计算;曲线的切线问题,有时在选择题、填空题中考查,有时会出现在解答题中的第(1)问.一、选择题1.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1),若f′(1)=-1,则a=( B )A.e   B.C.   D.解析 因为f′(x)=,所以f′(1)==-1,得lna=-1,所以a=.2.若f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(0)=( D )A.2   B.0C.-2   D.-4解析 f′(x)=2f′(1)+2x,令x=1,则f′(1)=2f′(1)+2,得f′(1)=-2,所以

2、f′(0)=2f′(1)+0=-4.3.(2018·河南八市质检)已知函数f(x)=sinx-cosx,且f′(x)=f(x),则tan2x的值是( D )A.-   B.-C.   D.解析 因为f′(x)=cosx+sinx=sinx-cosx,所以tanx=-3,所以tan2x===,故选D.4.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( B )A.   B.C.   D.解析 ∵y=,∴y′===≥-1,当且仅当ex=,即x=0时取等号,∴-1≤tanα<0.又∵0≤α<π,∴≤α<π,故选B.5.(2018·河南郑州质检)函数f(x)=excos

3、x在点(0,f(0))处的切线方程为( C )A.x+y+1=0   B.x+y-1=0C.x-y+1=0   D.x-y-1=0解析 ∵f′(x)=excosx+ex(-sinx)=ex(cosx-sinx),∴f′(0)=e0(cos0-sin0)=1.又∵f(0)=1,∴f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0,故选C.6.下面四个图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)·x+1(a∈R)的导函数y=f′(x)的图象,则f(-1)=( D )A.   B.-C.   D.-或解析 ∵f′(x)=x2+2ax+a2-1,∴f′(x)的图象开口

4、向上,则②④排除.若f′(x)的图象为①,此时a=0,f(-1)=;若f′(x)的图象为③,此时a2-1=0,又对称轴为x=-a,-a>0,∴a=-1,∴f(-1)=-.二、填空题7.已知函数f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+3,则f(1)+f′(1)=__4__.解析 由题意知f′(1)=,f(1)=×1+3=,∴f(1)+f′(1)=+=4.8.(2018·广东惠州模拟)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为__5x+y+2=0__.解析 由y=-5ex+3得,y′=-5ex,所以切线的斜率k=y′

5、x=0=-5,所以切线方程为y+2=-5(x-

6、0),即5x+y+2=0.9.已知曲线y=-3lnx的一条切线的斜率为,则切点坐标为  .解析 ∵y′=-,∴解得x=3.故切点坐标为.三、解答题10.(1)已知f(x)=eπx·sinπx,求f′(x)及f′;(2)已知f(x)=(x+)10,求.解析 (1)∵f′(x)=πeπxsinπx+πeπxcosπx,∴f′=πe=πe.(2)∵f′(x)=10(x+)9·,∴f′(1)=10(1+)9·=(1+)10=5(1+)10.又f(1)=(1+)10,∴=5.11.已知曲线C:y=x3-6x2-x+6.(1)求C上斜率最小的切线方程;(2)证明:C关于斜率最小时切线的切点对称.解

7、析 (1)y′=3x2-12x-1=3(x-2)2-13.当x=2时,y′最小,即切线斜率的最小值为-13,切点为(2,-12),切线方程为y+12=-13(x-2),即13x+y-14=0.(2)证明:设点(x0,y0)∈C,点(x,y)是点(x0,y0)关于切点(2,-12)对称的点,则∵点(x0,y0)∈C,∴-24-y=(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6,整理得y=x3-6x2-x+6.∴点(x,y)∈C,于是曲线C关于切点(2,-12)对称.12.设函数f(x)=ax+(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式

8、;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求出此定值.解析 (1)f′(x)=a-,依题意,f′(2)=0,f(2)=3,即解得或因为a,b∈Z,所以a=1,b=-1,故f(x)=x+.(2)证明:在曲线上任取一点,由f′(x0)=1-知,过此点的切线方程为y-=(x-x0).令x=1得y=,切线与直线x=1的交点为.令y=x得x=2x0-1,切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-

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