2019版高考数学复习函数导数及其应用课时达标13变化率与导数导数的计算理

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1、课时达标　第13讲[解密考纲]本考点主要考查导数的计算和曲线的切线问题，涉及导数的问题，离不开导数的计算；曲线的切线问题，有时在选择题、填空题中考查，有时会出现在解答题中的第(1)问．一、选择题1．已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f′(1)＝－1，则a＝(　B　)A．e　　　B．C．　　　D．解析　因为f′(x)＝，所以f′(1)＝＝－1，得lna＝－1，所以a＝.2．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)＝(　D　)A．2　　　B．0C．－2　　　D．－4解析　f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，则f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，所以

2、f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4.3．(2018·河南八市质检)已知函数f(x)＝sinx－cosx，且f′(x)＝f(x)，则tan2x的值是(　D　)A．－　　　B．－C．　　　D．解析　因为f′(x)＝cosx＋sinx＝sinx－cosx，所以tanx＝－3，所以tan2x＝＝＝，故选D．4．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　B　)A．　　　B．C．　　　D．解析　∵y＝，∴y′＝＝＝≥－1，当且仅当ex＝，即x＝0时取等号，∴－1≤tanα<0.又∵0≤α<π，∴≤α<π，故选B．5．(2018·河南郑州质检)函数f(x)＝excos

3、x在点(0，f(0))处的切线方程为(　C　)A．x＋y＋1＝0　　　B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0　　　D．x－y－1＝0解析　∵f′(x)＝excosx＋ex(－sinx)＝ex(cosx－sinx)，∴f′(0)＝e0(cos0－sin0)＝1．又∵f(0)＝1，∴f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0，故选C．6．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)·x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝(　D　)A．　　　B．－C．　　　D．－或解析　∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口

4、向上，则②④排除．若f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝；若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴为x＝－a，－a>0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－.二、填空题7．已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋3，则f(1)＋f′(1)＝__4__.解析　由题意知f′(1)＝，f(1)＝×1＋3＝，∴f(1)＋f′(1)＝＋＝4.8．(2018·广东惠州模拟)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为__5x＋y＋2＝0__.解析　由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′

5、x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－

6、0)，即5x＋y＋2＝0.9．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点坐标为　　.解析　∵y′＝－，∴解得x＝3.故切点坐标为.三、解答题10．(1)已知f(x)＝eπx·sinπx，求f′(x)及f′；(2)已知f(x)＝(x＋)10，求.解析　(1)∵f′(x)＝πeπxsinπx＋πeπxcosπx，∴f′＝πe＝πe.(2)∵f′(x)＝10(x＋)9·，∴f′(1)＝10(1＋)9·＝(1＋)10＝5(1＋)10.又f(1)＝(1＋)10，∴＝5.11．已知曲线C：y＝x3－6x2－x＋6.(1)求C上斜率最小的切线方程；(2)证明：C关于斜率最小时切线的切点对称．解

7、析　(1)y′＝3x2－12x－1＝3(x－2)2－13.当x＝2时，y′最小，即切线斜率的最小值为－13，切点为(2，－12)，切线方程为y＋12＝－13(x－2)，即13x＋y－14＝0.(2)证明：设点(x0，y0)∈C，点(x，y)是点(x0，y0)关于切点(2，－12)对称的点，则∵点(x0，y0)∈C，∴－24－y＝(4－x)3－6(4－x)2－(4－x)＋6，整理得y＝x3－6x2－x＋6.∴点(x，y)∈C，于是曲线C关于切点(2，－12)对称．12．设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.(1)求f(x)的解析式

8、；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．解析　(1)f′(x)＝a－，依题意，f′(2)＝0，f(2)＝3，即解得或因为a，b∈Z，所以a＝1，b＝－1，故f(x)＝x＋.(2)证明：在曲线上任取一点，由f′(x0)＝1－知，过此点的切线方程为y－＝(x－x0)．令x＝1得y＝，切线与直线x＝1的交点为.令y＝x得x＝2x0－1，切线与直线y＝x的交点为(2x0－1,2x0－