北师大版2020版新一线高考文科数学一轮复习课后限时集训15导数与函数的极值、最值含解析

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1、课后限时集训(十五)(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．函数y＝f(x)导函数的图像如图所示，则下列说法错误的是(　　)A．函数y＝f(x)在区间(－1,3)上递增B．函数y＝f(x)在区间(3,5)上递减C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值C　[由函数y＝f(x)导函数的图像可知：当x＜－1及3＜x＜5时，f′(x)＜0，f(x)递减；当－1＜x＜3及x＞5时，f′(x)＞0，f(x)递增．所以f(x)的减区间为(－∞，－1)，(3,5)；增区间为(－1,3)，(5，＋∞)，f(x)在x＝－1,5处取得极小

2、值，在x＝3处取得极大值，故选项C错误，故选C．]2．函数y＝lnx－x在x∈(0，e]上的最大值为(　　)A．e　　　　　　　　B．1C．－1D．－eC　[函数y＝lnx－x的定义域为(0，＋∞)．又y′＝－1＝，令y′＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，y′＞0，函数递增；当x∈(1，e]时，y′＜0，函数递减．当x＝1时，函数取得最大值－1.]　3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于(　　)A．11或18B．11C．18D．17或18C　[f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴⇒⇒或.经检验符合题意，∴f(2)＝23＋4×

3、4＋2×(－11)＋16＝18.]4．已知a∈R，若f(x)＝ex在区间(0,1)上有且只有一个极值点，则a的取值范围是(　　)A．a＜0B．a＞0C．a≤1D．a≥0B　[f′(x)＝(ax2＋x－1)，若f(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，则f′(x)＝0在(0,1)上有且只有一个零点，显然＞0，问题转化为g(x)＝ax2＋x－1在(0,1)上有且只有一个零点，故g(0)·g(1)＜0，即解得：a＞0，故选B.]5．(2019·漳州模拟)已知函数f(x)＝lnx－ax存在最大值0，则a的值为(　　)A．1　　B．2C．e　D.D　[函数f(x)的定义域为(

4、0，＋∞)，f′(x)＝－a，当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上是增加的，不存在最大值；当a＞0时，令f′(x)＝－a＝0，解得x＝，当0＜x＜时，f′(x)＞0，当x＞时，f′(x)＜0，∴f(x)max＝f＝ln－1＝0，解得a＝，故选D.]二、填空题6．函数y＝2x－的极大值是________．－3　[y′＝2＋，令y′＝0，即2＋＝0，解得x＝－1，当x＜－1时，y′＞0，当－1＜x＜0时，y′＜0，因此当x＝－1时，函数有极大值，极大值为－2－1＝－3.]7．(2018·贵州质检)设直线x＝t与函数h(x)＝x2，g(x)＝ln

5、x的图像分别交于点M，N，则当

6、MN

7、最小时，t的值为________．　[由题意，M(t，t2)，N(t，lnt)，∴

8、MN

9、＝

10、t2－lnt

11、，令f(t)＝t2－lnt(t＞0)，∴f′(t)＝2t－＝；当f′(t)＞0时，t＞，当f′(t)＜0时，0＜t＜，∴f(x)在上为减函数，f(x)在上为增函数，∴f(x)min＝f＝－ln＞0，∴当t＝时，

12、MN

13、达到最小值，最小值为－ln.]8．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．(0,1)∪(2,3)　[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝

14、－x＋4－＝，令f′(x)＝0得x＝1或x＝3，经检验知x＝1或x＝3是函数f(x)的两个极值点，由题意知，t＜1＜t＋1或t＜3＜t＋1，解得0＜t＜1或2＜t＜3.]三、解答题9．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．[解]　(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.(2)由(1)知f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝

15、4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)令f′(x)＝0，得x＝－ln2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)＜0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上递增，在(－2，－ln2)上递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．10．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．[解]　(1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3