变化率与导数、导数的计算(含解析

《变化率与导数、导数的计算(含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第十一节变化率与导数、导数的计算[知识能否忆起]一、导数的概念1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

2、x＝x0，即f′(x0)＝＝.(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x

3、)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝三、导数的运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；112．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；3.′＝(g(x)≠0)．(理)4.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux

4、′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．[小题能否全取]　　1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是

5、切点，而且这样的直线可能有多条．利用导数的定义求函数的导数典题导入[例1]　用定义法求下列函数的导数．(1)y＝x2；　(2)y＝.[自主解答]　(1)因为＝＝＝＝2x＋Δx，所以y′＝＝(2x＋Δx)＝2x.11(2)因为Δy＝－＝－，＝－4·，所以＝＝－.由题悟法根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的步骤(1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率＝；(3)计算导数f′(x0)＝li.以题试法1．一质点运动的方程为s＝8－3t2.(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两

6、种方法求解)．解：(1)∵s＝8－3t2，∴Δs＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2，＝＝－6－3Δt.(2)法一(定义法)：质点在t＝1时的瞬时速度v＝li＝li(－6－3Δt)＝－6.法二(导数公式法)：质点在t时刻的瞬时速度v＝s′(t)＝(8－3t2)′＝－6t.当t＝1时，v＝－6×1＝－6.2．已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为(　　)A.B.C.D.11解析：选D　∵s′＝2t－，∴s′

7、t＝2＝4－＝.3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s(t)＝2t3－gt2(g＝10m/s2)，则当

8、t＝2s时，它的加速度是(　　)A．14m/s2B．4m/s2C．10m/s2D．－4m/s2解析：选A　由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．导数的运算典题导入[例2]　求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝；[自主解答]　(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝＝＝.则y′＝(lnu)′u′＝·2＝，即y′＝.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的

9、函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．以题试法1．求下列函数的导数．(1)y＝ex·lnx；(2)y＝x；解：(1)y′＝(ex·lnx)′11＝exlnx＋ex·＝ex.(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.2．求下列函数的导数．(1)y＝x·tanx；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；解：(1)y′＝(x·tanx)′＝x′tanx＋x(tanx)′＝tanx＋x·′＝tanx＋x·＝tanx＋.(2)y′＝(x＋1)′(x＋2)(x＋3)＋