(N)是一个以自然数集为定义域的函数

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1、设xn=f(n)是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，x1,x2,…xn,…,称为一个数列.xn称为数列的第n项，也称为通项,数列也可表示为{xn}或xn=f(xn)第一节　数列的极限一、数列的极限例.1x看数列1.从直观上看,这个数列当n越来越大时,对应的项xn会越来越接近于1,或者说“当n趋向于无穷大时,数列xn趋近于1.如何用精确的,量化的数学语言来刻划这一事实?2x1x2x3x4xn注意到,实数a,b的接近程度由

2、ab

3、确定.

4、ab

5、越小,则a,b越接近.因此,要说明“当n越来越大时,xn越来越接近于1”就只须说明“当n越来越大时

6、,

7、xn1

8、会越来越接近于0”.而要说明“

9、xn1

10、越来越接近于0”则只须说明“当n充分大时,

11、xn1

12、能够小于任意给定的,无论多么小的正数”就行了,也就是说无论你给一个多么小的正数,当n充分大时,

13、xn1

14、比还小,由于是任意的,从而就说明了

15、xn1

16、会越来越接近于0.事实上,,给,很小,,只须n>1000即可,数列中,从第1001项开始,以后各项都有要也即在这个又给,则从第10001项开始,以后各项都有一般,任给>0,不论多么小,只须.因此,从第项开始,以后各项都有.因是任意的,这就说明了当n越来越大时,xn会越来越接近于1.要使定义:设{xn}是一个

17、数列,a是一个常数,若>0,正整数N,使得当n>N时,都有

18、xna

19、<,则称a是数列{xn}当n无限增大时的极限,或称{xn}收敛于a,记作这时,也称{xn}的极限存在,否则,称{xn}的极限不存在,或称{xn}是发散的.比如,对于刚才的数列1.有注1.定义中的是预先给定的,任意小的正数,其任意性保证了xn可无限接近于a,另外,又是确定的,它不是变量.若>0,正整数N,使得当n>N时,都有

20、xna

21、<,注2.一般说来,N随给定的变化而变化,给不同的确定的N也不同,另外,对同一个来说,N不是唯一的(若存在一个N,则N+1,N+2,…,均可作为定义中

22、的N.)若>0,正整数N,使得当n>N时,都有

23、xna

24、<,注3.定义中“当n>N时,有

25、xna

26、<”的意思是说,从第N+1项开始,以后各项都有

27、xna

28、<,至于以前的项是否满足此式不必考虑.可见一个数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关.而与前面的有限多项无关.改变,去掉数列的前有限项,不改变数列收敛或发散的性质.若>0,正整数N,使得当n>N时,都有

29、xna

30、<,几何意义:x2x1a-xN+5axN+1a+x3x)(xN由于

31、xna

32、<a

33、a为心,以任意小的正数为半径的邻域,总能找到一个N,从第N+1项开始,以后各项都落在邻域U(a,)内,而只有有限项落在U(a,)外部.看图.例1.若xn=c(常数),则若>0,正整数N,使得当n>N时,都有

34、xna

35、<,证:>0.由于

36、xn–1

37、=

38、c–c

39、=0取N=1,当n>N时,有

40、xn–c

41、=0<故即常数的极限就是常数本身.例2.设q是满足

42、q

43、<1的常数,证明证.若q=0,结论显然成立.>0.设0<

44、q

45、<1.现在,xn=qn,a=0.(要证N,当n>N时,有

46、qn0

47、<)因

48、xna

49、=

50、qn0

51、=

52、qn

53、=

54、q

55、n,要使

56、xn

57、a

58、<,只须

59、q

60、n<即可.即nln

61、q

62、N时,有从而有

63、qn0

64、<例3.证明证:>0要使则当n>N时,有(要证N,当n>N时,有若>0,正整数N,使得当n>N时,都有

65、xna

66、<,例4.证:>0,由于要使

67、xna

68、<,则当n>N时,有例5.证:(1)设a=1,结论显然成立.(2)设a>1,从而>1+nn>0,(3)设00,N,当n>N时,有.(因0

69、N1时,N2,当n>N2时,取N=max{N1,N2},则当n>N时,上两式同时成立.从而当n>N时,有矛盾,故极限唯一.若>0,正整数N,使得当n>N时,都有

70、xna

71、<,几何意义:数列的有界性.定义:没有数列xn=f(n),若M>0,使得

72、xn

73、M,n=1,2,….则称数列xn有界,否则,称xn无界.由于

74、xn

75、MM