长度为N,其系统函数为.doc

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1、第七章有限脉冲响应数字滤波器的设计lIIR数字滤波器的设计方法是利用模拟滤波器成熟的理论及设计图表进行设计的，因而保留了一些典型模拟滤波器优良的幅度特性。但设计中只考虑了幅度特性，没有考虑相位特性，所设计的滤波器相位特性一般是非线性的。l在IIR滤波器设计时，如果要得到线性相位特性，必须另外增加相位校正网络，使滤波器设计变得复杂，成本升高。lFIR滤波器在保证幅度特性满足要求的同时，很容易做到有严格的线性相位特性。设FIR滤波器单位脉冲响应长度为N，其系统函数为是的（N-1）次多项时，它在z平面上有（N-1）个零点，原点z=0是

2、（N-1）阶重极点。因此，永远稳定。稳定和线性相位特性是FIR滤波器突出的优点。FIR滤波器的设计方法和IIR滤波器的设计方法有很大不同。FIR滤波器设计任务是选择有限长度的,使传输函数满足技术要求。7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点1、线性相位条件对于长度为N的，传输函数为(1.1)(1.2)式中，称为幅度特性，称为相位特性。线性相位是指是的线性函数，即为常数(1.3)如果满足是起始相位(1.4)严格地说，此时不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即也称这种情况为线性相位。一般称满足式是第一类线性相位；

3、满足式为第二类线性相位。2、线性相位FIR的时域约束条件（1）第一类线性相位对的约束条件第一类线性相位FIR数字滤波器的相位函数由式和可得(1.5)可得(1.6)将两式相除，可得即由三角公式可得(1.7)如果取是实序列且对偶对称，即(1.8)此时FIR数字滤波器的相位特性是一个确知的线性函数，即（1）第二类线性相位对的约束条件第二类线性相位FIR数字滤波器的相位函数为同理可得(1.9)如果取是实序列且对偶对称，即(1.10)3、线性相位FIR滤波器幅度特性的特点将时域约束条件代入式，即并设为实序列，即可推导出线性相位条件对FIR

4、数字滤波器的幅度特性的约束条件。当N取奇数和偶数对的约束不同，因此分以下四种情况讨论：CASE1：，N=奇数将时域约束条件和代入和式，可得：其中所以(1.11)结论：关于三点对称，因此，该情况可以实现各种滤波器，即低通、高通、带通和带阻。CASE2：，N=偶数推导情况和前面相似，但由于N=偶数，中没有单独项，相等的项合并成项。(1.12)其中又因为且N是偶数，所以当时结论：，关于奇对称，关于偶对称。因此，CASE2不能实现高通和带阻滤波器。CASE3:，N=奇数将时域约束条件和代入和，并考虑，可得其中，和M同上。结论：因为N为奇

5、数，时整数，所以，当时正弦项为零，且关于过零点奇对称。因此，关于三点奇对称。只适合实现带通滤波器。CASE4：，N=偶数与CASE3类似(1.13)结论：N是偶数，。所以，当时正弦项为零，当时，，为峰点。因此关于奇对称，关于偶对称。CASE4不能实现低通和带阻滤波器。表7.1.1线性相位FIR滤波器的幅度特性与相位特性一览表4、线性相位FIR滤波器零点分布特点因为对于FIR数字滤波器，有要保持线性相位，必有，所以有(1.14)由可见：l如是的零点，其倒数也必然是其零点。l又因为是实序列，的零点必是共轭成对，因此和也是其零点。因此

6、，线性相位FIR滤波器零点分布特点是零点必须是互为倒数的共轭对，确定其中一个，另外三个零点也就确定。但在以下三种情况例外：l零点是实数；l零点是纯虚数且在单位圆上；l零点在单位圆上且是实数。图7.1.1线性相位FIR滤波器零点分布7.2利用窗函数法设计FIR滤波器1、窗函数法设计原理设希望设计的滤波器传输函数为，是与其对应的单位脉冲响应，因此如果能够由已知的求出，经过Z变换可得到滤波器的系统函数。但一般情况下，通常以理想滤波器作为，其幅度特性逐段恒定，在边界频率处有不连续点，因而是无限时宽的，且是非因果序列。例如：理想低通滤波器

7、的传输函数为(2.1)相应的单位取样响应为(2.2)可以看出，理想低通滤波器的单位取样响应是无限长，且是非因果序列。图7.2.1理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将截取一段，并保证截取的一段对对称。设截取的一段用表示，即(2.3)当时，对对称，保证所设计的滤波器具有线性相位。——这就是窗函数设计FIR数字滤波器的基本思想。存在的问题：用一个有限长的序列去代替，肯定会产生误差，表现在频域上就是通常所说的吉布斯效应。该效应会引起通带内和阻带内的波动性，尤其使阻带衰减减小，从而满足不了技术上

8、的要求。这种吉布斯效应是由于将直接截断引起的，因此，也称为截断效应。1、减小截断效应及其影响截断效应是因为要用有限项Fourier级数代替无限项Fourier级数而产生的，显然，随着选取的Fourier级数项数增多，引起的误差就会减小，但项数增多，即长度增加，会