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1、实用标准文档§3M/M/s排队模型一、单服务台模型(即M/M/1/¥/¥或M/M/1)到达间隔:负指数(参数为:到达率)分布;服务时间:负指数(参数为:服务率)分布;服务台数:1;系统容量:无限;排队长度(客源):无限;服务规则:FCFS.1.队长的分布文案大全实用标准文档设为系统平稳后队长的概率分布,则由(1),(累积服务率)(2)(无客的概率)(3),(有客的概率)文案大全实用标准文档及,和,,并记(服务强度,一般)可得,故有,文案大全实用标准文档其中.因此,.无客的概率:,文案大全实用标准文档至少有一客的概率
2、à服务台处于忙的概率=繁忙程度(即服务强度)=服务机构的利用率如单位时间,,,则,即40%在忙.2.几个主要指标(1)系统中平均顾客数=平均队长文案大全实用标准文档文案大全实用标准文档(2)系统中等待的平均顾客数=平均排队长.可以证明(见第二版P328的注释)在M/M/1中,顾客在系统中逗留时间服从参数为的负指数分布,即密度分布函数:文案大全实用标准文档分布函数:于是得(3)在系统中顾客平均逗留时间;(4)在队列中顾客平均等待时间因为逗留时间=等待时间+服务时间,即文案大全实用标准文档故,从而得另外还可得到(时间与
3、空间关系):和这两个常称为Little公式.各公式可记忆如下:文案大全实用标准文档由和à服务效率,从逗留时间à等待时间队长à排队队长或还可导出关系和文案大全实用标准文档3.服务机构的忙期和闲期分析(1)因为忙期=至少一客的概率,闲期=无客的概率à忙期时间长度/闲期时间长度=(2)因为忙闲交替,次数平均à平均忙期时间长度/平均闲期时间长度=à.文案大全实用标准文档(3)又由分布无记忆性和到达与服务相互独立性à任闲时刻起,下一客到达间隔仍为负指数分布à平均闲期=下一客到达间隔àà平均忙期=即顾客平均逗留时间,实际意义是
4、明显的.例1一个铁路列车编组站,设待编列车到达时间文案大全实用标准文档间隔负指数分布,平均到达率2列/h;编组时间服从负指数分布,平均20min可编一组.已知编组站上共有2股道,当均被占用时,不能接车,再来的列车只能停在站外或前方站.求(1)在平稳状态下系统中列车的平均数;(2)每一列车的平均停留时间;(3)等待编组的列车的平均数.如果列车因站中的2股道均被占用而停在站外或前方站时,每列车的费用为a元/h,文案大全实用标准文档求每天由于列车在站外等待而造成的损失.解这里,,(1)列车的平均数(小时)(2)列车的平均
5、逗留时间(小时)文案大全实用标准文档(3)等待编组的列车平均数(列)(4)等待编组时间(小时)(5)记列车平均延误(2道满,不能进站)时间为,则文案大全实用标准文档(小时)故每天列车由于等待而支出的平均费用(元).例2某修理店只有一个修理工,来修理的顾客到达过程为Poisson流,平均4人/h;修理时间服从负指数分布,平均需要6min.试求:(1)修理店空闲的概率;文案大全实用标准文档(2)店内恰有3个顾客的概率;(3)店内至少有1个顾客的概率;(4)在店内的平均顾客数;(5)每位顾客在店内的平均逗留时间;(6)等
6、待服务的平均顾客数;(7)每位顾客平均等待服务时间;(8)顾客在店内等待时间超过10min的概率.解这里,,文案大全实用标准文档(1)修理店空闲的概率(2)店内恰有3个顾客的概率(3)店内至少有1个顾客的概率(4)在店内的平均顾客数文案大全实用标准文档(人)(5)每位顾客在店内的平均逗留时间(6)等待服务的平均顾客数(人)(7)每位顾客平均等待服务时间文案大全实用标准文档(8)顾客在店内等待时间超过10min的概率..二、多服务台模型(即M/M/s/¥/¥或M/M/s)到达间隔:负指数(参数为:到达率)分布;单台服
7、务时间:负指数(参数为:服务率)分布;文案大全实用标准文档服务台数:s;系统容量:无限;排队长度(客源):无限;服务规则:FCFS.数据分析设为系统平稳后队长的概率分布,则文案大全实用标准文档和系统的服务率记,则当时,不至越排越长,称为系统的服务强度或服务机构的平均利用率.由前面的(1),(2)和(3)公式得文案大全实用标准文档故文案大全实用标准文档其中.当时,顾客要等待.记这个等待的概率为称为Erlang等待公式.(1)平均排队长文案大全实用标准文档或.(2)正在接受服务的顾客的平均数文案大全实用标准文档à与无关
8、.奇!(3)平均队长平均排队长+平均接受服务的顾客数.对多台服务系统,仍有Little公式:,文案大全实用标准文档例3考虑一个医院医院急诊的管理问题.根据统计资料,急论据病人相继到达的时间间隔服从负指数分布,平均每0.5h来一个;医生处理一个病人的时间也服从负指数分布,平均需要20min.该急诊室已有一个医生,管理人员现考虑是否需要再增加一个医生.解这是一个
