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1、概率论与数理统计辅导资料之三(必然事件、不可能事件、概率和、概率积的计算问题、全概率公式)1、必然事件、不可能事件的定义记事件A“从一中学任挑两名学生，两人年龄之和超过2岁”、事件B“飞机从芷江机场起飞飞往广州，经过湖南省上空”、事件A、B有个共同的特点，就是事件A、B发生的概率为1,即：P(A)=1,P(B)=1。必然事件的定义：必然发生的事件，即事件发生概率为1的事件叫必然事件。记事件A“从一副只有点数牌的40张扑克牌中任抽两张牌,两张牌点数相加为21”，事件B“警官小李练习射击3次，4次击中目标”。事件A、B也有一个共同特点
2、，记事件A、B发生的概率均为0,即:P(A)=0,P(B)=0o不可能事件的定义：不可能发生的事件，即事件发生概率为0的事件叫不可能事件。2.概率的“和”、“积”问题概念引入一段时间内小李选择去北京旅游的概率为0.3,同时，这段时间内小张选择去北京旅游的概率为0.6,他们之间选择去还是不去北京旅游的时候是相互没有任何影响的，请问，这段时间内，他们两人至少有一人选择去北京旅游的概率为多少？(也可以这样问：这段事件内，小李或者小张选择去北京旅游的概率是多少？这是在概率问题中“'或'这个字”的意义，请一定一定要记住)，他们两人同时选择去
3、北京旅游的概率又是多少？这道题怎么计算，如何思考？我们设事件A“小李选择去北京旅游”、事件B“小张选择去北京旅游”。事件C“小张、小李至少有一人选择去北京旅游”。事件D“小张、小李同时选择去北京”。则：P(A)=0.3,P(a)=1-0,3=0.7P(B)=0.6,P(万)=1-0.6=0.4那么，以下三种情况都是“他们两人至少有一人去北京旅游”的情形，三种情形为：“小李去、小张不去”，“小张去、小李不去”，"小张去、小李也去”。这三种情况都是两两之间互斥的，因此，事件C发生的概率是这三种情况发生的概率之和。P(C)=P(A+B)
4、(这是“A+B”表示A、B至少一个会发生的概率,也就是A或者B发生的概率，不要狭义理解成“加”号)=P(A.万)+P(B.7)+P(A.B)=P(A)xP(b)+P(B)xP(A)+P(A)xP(B)=0.3x0.4+0.6x0.7+0.3x0.6=0.72P(D)=P(A.B)(这是事件A、事件B同时发生的表达法,不要理解为乘号)按照独立事件同时发生的乘法公式，P(A.B)=P(A)xP(B)=O.18。所以，事件D发生的概率为0.18总结：概率问题中，“或”、“至少”等字眼的问题是和问题，遵循加法原则，“同时发生”、“并且”等
5、字眼的问题是“积”问题，遵循乘法原则。3、全概率公式(概率非常重要的公式)以上事件C“小张、小李至少有一人选择去北京旅游”的概率又等于什么？前面，我们计算了p(C)=0.72即：P(A+B)=0.72计算一下如下式子：P(A)+P⑻-P(A.B)=0.3+0.6-0.3x0.6=0.72从而得到一个重要的等式P(A+B)二P(A)+P(B)-P(A.B)(2事件全概率公式)这一公式对任何事件都成立，在互斥及对立事件中，事件A、B同时发生的概率为0,从而在互斥、对立事件中P(A+B)二P(A)+P(B),与前面讲的内容没有矛盾推论：
6、P(A+B+C)二P(A)+P(B)+P(C)-P(A.B)-P(B.C)-P(A.0+P(A.B.C)(三事件全概率公式)P(A.B)是指A、B同时发生的概率，P(B.C)是指B、C同时发生概率，P(A.0是指A、C同时发生的概率，P(A.B.C)是指A、B、C同时发生的概率。(三个以上的问题的全概率问题，高中不会考，这里略)。4、全概率公式的应用举例从甲、乙、丙三个袋子分别装有10、20、20个彩色球,其中甲袋子有5个白球、乙袋子有4个白球，丙袋子有6个白球，小张从甲、乙、丙袋子各摸出一个球，问他至少摸出一个白球的概率为多少？
7、解:设事件A“小张从甲袋子摸出一个白球”事件B“小张从乙袋子摸出一个白球”事件C“小张从丙袋子摸出一个白球”易知：P(A)=5=0.510P(B)=±=0.220P(C)=A=o.320按全概率公式P(A+B+C)(事件A、B、C至少有一个会发生的概率)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A.B)(事件A、B同时发生的概率)-P(A.C)(事件A、C同时发生的概率)-P(B.C)(事件B、C同时发生的概率)+P(A.B.C)(事件A、B、C同时发生的概率)=0.5+0.2+0.3-0.5x0.2-0.5x0.3-0.2x0.3+0
8、.5x0.2x0.3=0.725、作业警官小张和小黄练习射击，小张射击一次击中目标的概率为0.4,小黄射击一次击中目标的概率为0.6,他们两人各进行3次射击，6次射击中，至少有一次击中目标的概率为多少？（答案：0.986176,请儿子认真思考，综合
