概率统计辅导材料

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1、第一章随机事件及其概率本章介绍概率的基础概念与理论，重点内容是：（1）古典概型、几何概型和贝努里概型的概率计算；（2）利用事件的关系与独立性进行概率计算；（3）利用加法定理、条件概率公式、乘法定理、全概率公式及贝叶斯公式进行概率计算例题分析本章的重点是事件概率的计算：1．用古典概型，几何概型的定义计算概率例随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名优秀生，求：（1）每个班各有一名优秀生的概率；（2）3名优秀生分在同一个班的概率。解将15名新生平均分配到三个班级中的总分法数为：（

2、1）事件={将15名新生平均分配到三个班级中去，且每个班各有一名优秀生}，完成事件可分两步，先把3名优秀生各班分1名共有种分法，再把3名新生平均分配到三个班级共有种分法，由乘法原理知中完成事件的方法数即事件包含的基本事件数。故。(2)事件={将15名新生平均分配到三个班级中去，其中3名优秀生分在同一个班}。完成事件可分两步，先把3名优秀生分在同一个班，共有3种分法，对于这每一种分法，其余12名非优秀生的分法（一个班2名，另两个班各5名）共有种分法，由乘法原理知中完成事件的方法数即事件包含的基本事件

3、数。故例（852）从共10个数中，每次取一个数，假定每个数被抽取的可能性都相等，取后放回，先后取出7个数，试求下列各事件的概率；1º{7个数中不含1和10}；2º{数10恰好出现2次}解由于是有放回地抽取，故基本事件总数为107，因此1º2º例在区间（0，1）中随机地取出两个数，则事件{两数之和小于的概率为。解如图1.2知2．利用概率的基本性质计算事件概率例（859）设为随机事件，，则＝25解因为，所以例（860）设事件与相互独立且互不相容，则min。解由与相互独立知，又因与互不相容，故，所以因此

4、，min3．利用条件概率、乘法公式进行计算例（868）某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为3／10，第二次落地打破的概率为4／10，第三次落地打破的概率为9／10，求透镜落地三次被打破的概率。分析第二次落地打破的概率，实际上是指在第一次落地未打破的条件下，第二次落地才打破的条件概率，同样，第三次落地打破的概率是指在第一、二次落地都未打破的条件下，第三次落地才打破的条件概率。解设：“透镜第次落地被打破”A：“落地三次，透镜被打破”，依题意，且，两两互不相容，故有算法1算法2先求所以，例（8

5、54）从装有红、白、黑球各一个的口袋中任意取球（取后放回），直到各种颜色的球至少取得一次为止。求：1º摸球次数恰好为6次的概率；2º摸球次数不少于6次的概率。解设：“直到各种颜色的球至少取得一次为止所需摸球次数为次”，，则事件发生必为第次首次摸到红球、或白球、或黑球，其概率为，剩下次摸到的必是其余两种颜色的球，且每种颜色至少出现一次，至多重复次，每次出现的概率都是，因此1º2º注：此题也可用古典概型计算4．利用全概率公式，贝叶斯公式计算概率25例（870）有两个箱子，第一个箱子有3个白球2个红球，

6、第二个箱子有4个白球4个红球，现从第一个箱子中随机地取出1个球放在第二个箱子里，再从第二个箱子中取1个球，此球是白球的概率为，已知上述从第二个箱子中取出的球是白球，则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为。分析本题第一问是考查全概率公式，第二问是求条件概率，故应用叶贝斯公式设{从第个箱子中取出的球是白球}，＝1，2，由条件知，，故由全概率公式得第二问由贝叶斯公式有解应分别填和例有两个箱子，第一个箱子有5个白球10个红球，第二个箱子有5个白球10个红球，现从第一个箱子中任取出1个球放于第二个箱子里，然

7、后从第二个箱子中任取1个球放于第一个箱子里，最后从第一个箱子中任取2个球,求2个球全是红球的概率.分析本题是考查全概率公式.解设={从第一个箱子中任取出1个球放于第二个箱子里，然后从第二个箱子中任取1个球放于第一个箱子后第一个箱子中含有个红球}，＝4,5,6，{最后从第一个箱子中任取2个球全是红球}由条件知，=(先从第一个箱子中任取出红球,后从第二个箱子中取出白球)=(先从第一个箱子中任取出红球,后从第二个箱子中取出红球)+(先从第一个箱子中任取出白球,后从第二个箱子中取出白球)=(先从第一个箱子

8、中任取出白球,后从第二个箱子中取出红球),,故由全概率公式得255．利用贝努里概型公式进行计算例某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴，经过若干时间后，发现一盒火柴已经用完，如果最初两盒中各有根火柴，求这时另一盒还的根火柴的概率。解假若甲盒已空而乙盒还剩根火柴，则在这之前一定已经取过次火柴，每次取甲、乙盒的概率为，在次中，恰有次取于甲盒，次取于乙盒，第次必然抓了甲盒，否则不会发现甲盒是空的，因此这种情况的概率为故求一盒空而另一盒还剩根火柴的概率为例（877）假设一厂家生产的每台