搬迁、补形在初中数学竞赛中的应用

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1、“搬迁”、“补形”在初中数学竞赛题中的应用湖南省株洲市第三中学李梅英“搬迁”法、”补形”法是初中数学竞赛中几何证明题与计算题的常见方法。现以2004年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题第9题为例进行说明，希望能起到抛砖引玉的作用。例1、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，，BC=CD=12,，若AE=10，则CE的长为.答：4或6（2004年全国初中数学竞赛题第9题）解：延长DA至M，使BM⊥BE.过B作BG⊥AM，G为垂足.易知四边形BCDG为正方形，所以BC=BG.（第9题图）又，∴Rt△BEC≌Rt△

2、BMG.∴BM=BE，，∴△ABE≌△ABM，AM=AE=10.设CE=x，则AG=，AD=，DE=.在Rt△ADE中，，∴，即，解之，得，.故CE的长为4或6.ADFGBCE例2、已知：如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且求证：BE+DF=AE解：延长EB至G，使BG=DF，连结AG。在正方形ABCD中，AB=AD，∠D=∠ABG=900，AB∥CD，∴∠AFD=∠BAF，∴△ABG≌△ADF∴∠G=∠AFD，∠GAB=∠DAF，又∵∠DAF=∠EAF∴∠GAB=∠EAF∴∠GAE=∠BAF∴∠G=∠GAE∴GE=

3、AE，即BG+BE=AEDCQAPBG∴BE+DF=AE。例3、已知：如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q为AB、AD上的点，△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数解：延长PB至G，使BG=DQ，连结CG。在正方形ABCD中，CD=CB，∠D=∠CBG=900∴△CDQ≌△CBG，∴CQ=CG，∠DCQ=∠BCG4又∵正方形ABCD的边长为1，△APQ的周长为2∴AQ+DQ+AP+BP=2，AQ+AP+PQ=2∴DQ+PB=PQ∴BG+PB=PQ即PQ=PB又∵PC=PC∴△CPQ≌△CPG∴∠PCQ=∠PCG又∵∠DCQ+∠QCB

4、=900∴∠BCG+∠QCB=900即∠QCG=900∴∠PCQ=450例4、已知：正方形ABCD中，E为AB上一点，F为BC上一点，且AE+CF=EFADEBFCG求证：∠EDF=450证明：延长BC至G，使CG=AE，连结CG。在正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠DCG=900∴△ADE≌△CDG，∴DE=DG，∠ADE=∠CDG又∵AE+CF=EF∴CG+CF=EF,即GF=EF又∵DF=DF∴△DEF≌△DGF∴∠EDF=∠GDF又∵∠ADE+∠EDC=900∴∠CDG+∠EDC=900即∠EDG=900∴∠EDF=45

5、0ADFHGBEC例5、已知：如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=450，AH⊥EF于H估计：的大小并证明。解：估计：=1证明：延长EB至G，使BG=DF，连结AG。在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABG=900∴△ADF≌△ABG，∴AF=AG，∠DAF=∠BAG又∵∠EAF=450∴∠DAF+∠BAE=450∴∠BAG+∠BAE=450即∠GAE=∠FAE又∵AE=AE∴△GAE≌△FAE∴GE=FE∴，即=14AGDBEC例6、已知：四边形ABCD中，∠BAD=∠C=900，AB=AD，A

6、E⊥BC于E，且AE=2求四边形ABCD的面积。解：过点A作AG⊥CD交CD的延长线于点G，∵AE⊥BC，∠C=900∴四边形AECD为矩形，∴∠EAG=900又∵∠BAD=900，∴∠BAE=∠DAG又∵∠AEB=∠G=900，AB=AD，∴△BAE≌△DAE∴AE=AG∴四边形AECD为正方形又∵AE=2∴四边形ABCD的面积为22=4（平方单位）。例7、正方形ABCD被两条与边平行的线段EFGP分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小并证明你的结论。AEDGP

7、HMBFC解：∠HAF=450证明：设：AG=EP=DH=AE=GP=BF=，BG=FP=CH=DE=PH=CF=∴又∵∴∴∴∴∴延长FB至M，使BM=DH，连结AM。在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABG=900∴△ADH≌△ABM，∴AH=AM，∠DAH=∠BAM又∵∠DAH+∠HAB=900∴∠BAM+∠HAB=900即∠HAM=900∴FM=又∵FH2=∴FH=FM又∵AF=AF∴△AMF≌△AHF∴∠MAF=∠HAF∴∠HAF=4504ADEBFC例8：已知：如图，正方形ABCD，E是BD上一点，BE=2DE，F是

8、BC上一点，CF=2BF，求∠EAF的大小。例9：已知：∠SOT=900OC平分∠SOT，P是OC上的定点，PO=a，A是SO上的动点，PA⊥PB，问OA+OB是否为定值？CSPAOBT4