补形法的应用

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1、补形法的应用　　【摘要】本文通过补形法在平面几何和立体几何中的具体运用，阐述了“补”的思想方法的重要性和巧妙性。　　【关键词】补形法；等腰三角形；正方形；圆；正四棱锥；正四面体　　有些几何问题，直接从原图形出发进行分析，有时显得十分繁难，甚至会陷入困境。这时，若将原图形添补成一个特殊的、简单的、完整的新图形，则能使问题的本质得到充分的显示，从而使问题化繁为简。补形法就是根据题设的条件和图形，经过观察、分析和联想，运用添加辅助线的方法，将其拓展为范围更广、特征更明显、更为熟悉的几何图形，从而沟通条件和结论之间的联系。　　一、在平面几何

2、中的应用　　例1、已知：如图1，△ABC中，AB=■BC，∠ABC的平分线交AC于E，CD⊥BE于D，求证：BE=ED　　证明：延长BA交CD的延长线于F，易证△BCF是等腰三角形，所以BC=BF，CD=■CF，而AB=■BC，则AB=■BF=■AF。作DG∥CA交BF于G，则AG=■AF=AB，则BE=ED。　　例2、在△ABC中，AD⊥BC，∠BAC=45°，BD=2，CD=3，求△ABC的面积　　解：如图2，作△ABD、△ACD关于AB、AC对称的△ABE、△ACH，延长EB、HC交于F，则四边形AHFE是正方形。3　　设AD

3、=x，从而正方形的边长为x，又CF=HF-CH=x-3，BF=EF-BE=x-2，在Rt△BCF中，BC2=BF2+CF2，即（x-3）2+（x-2）2=25，解得x=6，则S△ABC=■BC×AD=■×5×6=15。　　例3、已知：如图3，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AC=AD=3，BC=2，求对角线BD的长。　　解：以A为圆心，AB长为半径作⊙A，而AB=AC=AD，所以C、D也在⊙A上，延长BA交⊙A于E，则BE=2AB=6，而AB∥DC，所以DE=BC，则DE=BC=2。又BE为⊙A的直径，则∠BDE=90°，从而

4、BD=■=4■。　　二、在立体几何中的应用　　把正四面体补成一个正方体，把三棱柱补成一个平行六面体等都属于补形法在立体几何中的应用。下面我们看看补形法的一次巧妙运用：　　例4、如图，正四棱锥P-ABCD的所有棱长等于2a，另有一个棱长等于2a的正四面体，按如图所示的方式把它们拼起来，拼成的立体图形有几个面？　　分析：我们先用一般的方法。取BC的中点M，PE的中点N，且O为P在面ABCD上的射影，连接OM，MN，易证BC⊥MN，BC⊥OM，则BC⊥面OMN，又BC⊥OM，BC⊥PO，则BC⊥面OMP，所以O、M、N、P四点共面。易求P

5、O=MN=■a，而PN=OM=a，OMNP是平行四边形，则OM∥PE，又OM∥AB，∴AB∥CD∥PE，则面PAB∩面PCD=PE（∵CD∥面PAB，且面PCD过CD，∴面PCD与面PAB的交线e平行于AB，即e∥AB，又面PAB与面PCD都经过点P，则该交线e一定过P，即P∈e，而AB∥PE，∴PE与e重合），∴面PAB与面PBE共面，面PCD与面PCE共面，则所拼成的立体图形只有5个面。3　　方法二：对于上面的论述，如果反过来逆向考虑，要是能通过补形法把正四棱锥P-ABCD补充成另一个立体图形，并且能在所拼成的位置刚好能截出一个

6、正四面体，那问题就解决了。　　把正四棱锥P-ABCD补充成如图所示的立体图形，使得Q-BCFE是一个与正四棱锥P-ABCD完全一样的立体图形，且A、B、E、F、C、D共面，则PB=PC=QB=QC=BC=2a，只要证到PQ=2a即可。　　设M、N分别为P、Q在平面AEFD内的射影，易证PQ=MN=2a，则BCPQ为正四面体，则问题得以解决。　　注：对于这个题目，一般可能认为拼成的立体图形应该是7个面，因为给人的感觉这两个立体图形还是有比较大的差异。虽然所有的棱长都相等，但它们相关的一些二面角未必相等。真所谓“大千世界，无奇不有”，点

7、E恰好既在面PAB上又在面PCD上。对比两种方法，方法二用的补形法的确很简洁。　　通过对几何体的“补”能发现未知与已知之间的内在联系，这种方法不仅蕴含了一种构造思想，而且还反映了整体与部分和普遍联系的哲学思想。　　【参考文献】　　[1]宁连华.数学探究教学设计研究.数学教育学报，2006年04期　　[2]王立文，王兴林.巧用补形法解平面几何题3