常微分方程期末考试试题答案及评分标准

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1、2011级数学与应用数学专业《常微分方程》试卷B参考答案及评分标准2012——2013学年第2学期一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)1、(D)2、(C)3、(B)4、(D)5、(A)6、(A)7、(A)8、(C)9、(A)10、(C)二、填空题(本题共6空，每空3分，共18分)1、+12、C]cosx+C2sinx3、04、2戶5^l-x6、j=C,4-C2x2+-x3,G，q为任意常数三、计算题(本题共5小题，每题6分，共30分)1、求微分方程(〒+莎仪+(兀一2y)d)=0的解.(6分)解：令M=x

2、2+y,N=x-2yf则型=1=辺2分dydx从而原方程为恰当方程，Mdx+Ndy的原函数存在，设为U(兀刃，从而有dudx^L=N=x-2yBy从而=j(x2+X3y)dx=—+xy+C{y)■丿而由理二N=x-2y=x+Cy)f得：Cy)=-2y,即C(y)=-/+C,从而原方程dy的通解为:(7(x,y)=-+xy-y2+C=06分2、求微分方程*-3/+9『+13『=厂的通解.(6分)解：已知方稈来J■应的特征方程为：A3-3A2+9A+13=01分特征根为人=—1,入=2+3z；入=2—引，故其对应的齐

3、次方程的通解为:y=C]Q+C2e2vcos3x+C3^2vsin3x下面用比较系数法求原方程的一个特解,由于-1为原方程的特征根，所以原方程冇形如:才=如才“形式的特解，将其代入原方程，并比较系数得：A=—4分18从而得込形式的特解为：y=—xe~x5分18从而已知方程的通解为：,=C1e-+C2^cos3x+C^sin3x+-^3、求微分方程©二一兀+J/+2y的所有解.CIX解：令Jx?+2y=u,则y=-(u2-x2)2从而原方程可化为=w—-x=-x+w,即u—=udxdxdx解上述变量可分离方程，得：伉=x

4、+C或者况=0从而原方程的所有解为:X2y=——24、求微分方程y=x^-lnx+f^—］的所有解.(6分)dxdx)解：令4=p,则原微分方程化为dxy=xpXnx+^xp)1(*)2分对(*)式两边求关于x的导数，并整理得：(lnx+2xp)

5、1=04分

6、线性微分方程©=?y+2疋1分dxx2(1)先求方程的通解为：y=Cx22分X(2)假设原方程有形如：y=C(x)x2形式的解，并代入原方程，得：Cz(x)=2x,并两边求积分得：C(x)=x2+C5分故原微分方程的通解为：y=x1(x1+cy(C为任意常数)6分四、解答题(本题共2小题，每题门分，共22分)1、对于微分方程-^2xy)dx-x1dy=0(1)验证该方程不是恰当方程；(3分)(2)在方程两边乘以y"后，确定川的值使之成为恰当方程；(4分)(3)求该方程的通解.(4分)解：⑴设M(x,y)=y2+2xy,

7、N(x,>0=-x2,1分十dM小dN小八由于——=2y+3x,——=-2x2分dydx从而寥工雲，即原方程不是恰当方程3分uydx(2)方程两边乘以y"后方程变为：(y"+2+2jcy"J心—兀)"右=04分令P=y,t+2+2x)/,+1,Q=—/.『，要使上述方程为恰当方程，贝U嬰=孥,即(h+2)yn+l+2(/24-)xyn=-2xyn6分uyox从而可解得：n=-27分（3）由前面的讨论知：原方程有积分因子y—2,方程两边乘以y-2,变为p八/八=dx+—GJIy丿即dx+d=0(1+2x)<*^dx-x

8、1y~2dy=010分从而方程的通解为：x+—=Cy11分2、求初值问题R:x+1<1,y<17(-l)=0的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.（11分）解：设/(x,y)=x2-/,兀o=T'>o由于M=max(A.y)e/?/(X,y)=4从而由解的存在唯一性定理知，解的存在区间为x+l

9、jr

10、y2

11、^2(x)-^(x)

12、<—/i3<—(由于

13、./；.(x,y)

14、=

15、2y

16、<2,从而可取L=2)11分