常微分方程试卷(a)参考答案及评分标准

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1、广西师范大学漓江学院试卷参考答案及评分标准(2009—2010学年第二学期)课程名称:常微分方程课程序号:开课系:理学系命题教师:陈迪三命题时间:2010年5月30日年级、专业:08数学考试时间:120分钟试卷类型:A卷■B卷□C卷□考核方式:闭卷■开卷□一、选择题(每小题3分,5×3=15分):(1):B(2):C(3):B(4):D(5):A二、填空题(每小题3分,5×3=15分):(1):(2):(3):(4):y=+(5):三、计算题本(大题共4小题,共26分):1、解两边乘以积分因子有………………………(2分)…………………………(2分)得(为任意的常数)...………………………

2、(1分)2、解:齐次方程的特征方程为齐次方程的通解为…………………………(2分)令,并求其特解如下:由于是一重特征根,故设特解为代入原方程比较系第7页共2页…………………………(2分)所以则原方程有特解…………………………(2分)故原方程的通解为……………………(1分)3、解:令,则代入原方程得(I)……………………………….(2分)(I)对应的齐次方程的通解为不是特征根,故设特解为.代入(I)并比较系数得.………………………….(2分)从而,则(I)的通解为………………………….(2分)故原方程的通解为…………………………(1分)4、解:将方程改写成对应的齐线性方程的通解为(为任意常数)

3、……..……………….(2分)由常数变易法,设非齐线性方程的解为代入方程,得…….(4分)因此,原非齐线性方程的通解为其中C1为任意的常数…….….(1分)四、解答题(大题共2小题,共24分):1、解:………………(2分),解的存在区间为第7页共2页即.令…………………(3分)……………………(2分)……………………(2分)又,误差估计为:……………………(3分)2、解方程组的特征方程为特征根为,…………………(2分)对应的特征向量应满足可解得…………………(2分)类似对应的特征向量分量为…………………(2分)所以,原方程组的的基解矩阵为第7页共2页…………………(2分)方程满足初始条件的

4、解表示为…………………(2分)五、证明题(大题共2小题,共22分):1、证明设,是方程的基本解组,则对任意,它们朗斯基行列式在上有定义,且.…………………(3分)又由刘维尔公式,…………………(3分)…………………(2分)由于,,于是对一切,有或故是上的严格单调函数…………(3分)2、证明:由于为方程的解矩阵,因此是一个可逆矩阵,…………..(2分)所以也是的基解矩阵,………………..(3分)因为是基解矩阵,于是令为非奇异的常数矩阵………………..(2分)当时,,而,得………………..(3分)故.………………..(1分)第7页共2页第7页共2页教研室主任(签字):系主任(签字):第7页共2

5、页第7页共2页

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