常微分方程试卷(a)参考答案及评分标准

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1、广西师范大学漓江学院试卷参考答案及评分标准（2009—2010学年第二学期）课程名称：常微分方程课程序号：开课系：理学系命题教师：陈迪三命题时间：2010年5月30日年级、专业：08数学考试时间：120分钟试卷类型：A卷■B卷□C卷□考核方式：闭卷■开卷□一、选择题（每小题3分，5×3=15分）：(1)：B(2)：C(3)：B(4)：D(5)：A二、填空题（每小题3分，5×3=15分）：(1)：(2)：(3)：(4)：y=+(5)：三、计算题本(大题共4小题，共26分):1、解两边乘以积分因子有………………………（2分）…………………………（2分）得（为任意的常数）...………………………

2、（1分）2、解：齐次方程的特征方程为齐次方程的通解为…………………………(2分)令，并求其特解如下：由于是一重特征根，故设特解为代入原方程比较系第7页共2页…………………………(2分)所以则原方程有特解…………………………(2分）故原方程的通解为……………………(1分)3、解：令，则代入原方程得(I)……………………………….（2分）(I)对应的齐次方程的通解为不是特征根，故设特解为.代入(I)并比较系数得.………………………….（2分）从而,则(I)的通解为………………………….（2分）故原方程的通解为…………………………（1分）4、解：将方程改写成对应的齐线性方程的通解为（为任意常数）

3、……..……………….(2分)由常数变易法，设非齐线性方程的解为代入方程，得…….(4分)因此，原非齐线性方程的通解为其中C1为任意的常数…….….(1分）四、解答题(大题共2小题，共24分):1、解：………………（2分），解的存在区间为第7页共2页即.令…………………（3分）……………………（2分）……………………（2分）又，误差估计为：……………………（3分）2、解方程组的特征方程为特征根为，…………………（2分）对应的特征向量应满足可解得…………………（2分）类似对应的特征向量分量为…………………（2分）所以，原方程组的的基解矩阵为第7页共2页…………………（2分）方程满足初始条件的

4、解表示为…………………（2分）五、证明题(大题共2小题，共22分):1、证明设，是方程的基本解组，则对任意，它们朗斯基行列式在上有定义，且．…………………（3分）又由刘维尔公式，…………………（3分）…………………（2分）由于，，于是对一切，有或故是上的严格单调函数…………（3分）2、证明：由于为方程的解矩阵，因此是一个可逆矩阵,…………..(2分)所以也是的基解矩阵，………………..(3分)因为是基解矩阵,于是令为非奇异的常数矩阵………………..(2分)当时,,而,得………………..(3分)故.………………..(1分)第7页共2页第7页共2页教研室主任(签字)：系主任(签字)：第7页共2

5、页第7页共2页