计算机控制系统第03讲

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1、第三章：计算机控制系统的数学描述授课人：李会军内容提纲本章内容提纲Z变换的定义和性质Z反变换的求解方法差分方程脉冲传递函数2内容回顾采样定理(香农定理)定理：如果连续信号是有限带宽的，且它所含的频率分量的最大值为，当采样频率时，原来的连续信号可以用其采样信号来表征，或者说采样信号可以不失真地代表原来的连续信号。物理含义：如果采样频率足够大，使得连续信号的最高频率的正弦分量在一个周期内能够被采样2次以上，则采样信号就能不失真地反映连续信号的特性；3Z变换Z变换的定义连续信号经过周期为T的理想采样开关后，采样信号如下：对上式进行拉氏变换如下：为了简单起见，令：，上式变为：4Z变换Z变换的定

2、义表示方法：含义：表示采样脉冲序列拉氏变换的一种特殊形式；延迟环节：均表示k个采样周期的延迟5Z变换Z变换的计算方法级数求和法例1：求指数函数的Z变换解：连续函数采样之后的数学表达式如下：Z变换：上式为一个等比级数，当时，级数收敛，级数和为：6Z变换Z变换的计算方法部分分式展开法1、求出时域函数对应的拉式变换；2、使用部分分式展开法，将展开成简单分式之和；3、利用常用函数拉氏变换和Z变换对照表，查表得到相应的Z变换；部分分式展开法的步骤：7Z变换Z变换的计算方法部分分式展开法1、当无重根时，可写为n个分式之和的形式：是的根，系数可求解如下：2、当有重根，假设为r阶重根，为非重根，则：8Z变

3、换Z变换的计算方法部分分式展开法为非重根的系数，可按照步骤1的方法进行计算，为重根的系数，其计算方法如下：9Z变换Z变换的计算方法部分分式展开法例2：已知，求其相应的采样函数的Z变换解：利用部分分式展开法，可分解如下：10Z变换Z变换的计算方法部分分式展开法将各项系数带入展开式，并查找各项对应的Z变换，可得：11Z变换Z变换的计算方法留数计算法假设为r阶重根，为非重根，则留数计算法的计算公式：其中，是的r阶重根，为的非重根；12Z变换Z变换的基本定理线性定理证明：根据Z变换的定义，线性定理证明如下13Z变换Z变换的基本定理时域位移定理1、左位移(超前)定理证明：根据Z变换的定义，证明如下1

4、4Z变换Z变换的基本定理时域位移定理特殊情况：在零初始条件下，即，超前定理可简化如下：2、右位移(延迟)定理证明：根据Z变换的定义，证明如下15Z变换Z变换的基本定理复域位移定理证明：根据Z变换的基本定义，证明如下注意：时域形式和Z域形式中的符号16Z变换Z变换的基本定理初值定理证明：根据Z变换的基本定义，证明如下终值定理：假设的Z变换为，并假定函数在Z平面的单位圆上或单位圆外没有极点，则有：17Z变换Z变换的基本定理证明：引入如下2个有限数列对于实际系统，当t<0时，f(t)=0。所以式(2)中，f(-T)=0。比较(1)和(2)：令z趋于1，对(1)式和(2)式之差取极限，如下：18Z

5、变换Z变换的基本定理因此，当n趋于无穷时，可得：19Z反变换Z反变换的定义描述：求出与Z变换相对应的采样函数的过程成为Z反变换；注意：Z反变换的结果只包含了采样时刻的信息，与连续信号无关20Z反变换Z反变换的求解方法幂级数展开法(长除法)根据Z变换的定义，Z变换式可以用幂级数表示，则项的加权系数即为采样时刻的值：优点：计算方便，易于计算机编程实现；缺点：难以得到f(kT)的通项公式；21Z反变换Z反变换的求解方法例3：已知，求解：采样函数为：—)——————————————————）———————————————————————————————————）22Z反变换Z反变换的求解方法留数法

6、采样时刻的值可利用在全部极点上的留数之和求得：其中，n为的极点个数如果的极点中有r阶的重极点，该极点处的留数计算如下：23Z反变换Z反变换的求解方法留数法例4：已知，求解：使用留数法计算如下采样函数为：24Z反变换Z反变换的求解方法部分分式展开法(查表法)1、当无重根时，将展开成部分分式之和的形式如下：计算各项系数：得到：查表可知：由此可得：25Z反变换Z反变换的求解方法部分分式展开法(查表法)2、当有r阶重根时，可展开如下：其中，是非重根项的系数，可使用步骤1中的方法进行计算。重根项的系数计算方法如下26Z反变换Z反变换的求解方法部分分式展开法(查表法)计算出各展开项的系数之后，得到的部

7、分分式之和的形式如下：查表，得到各采样时刻的值最后，得到的Z反变换形式：27Z反变换Z反变换的求解方法例5：求的Z反变换，假设采样时间T=1s解：利用部分分式展开法，将展开如下：计算各项系数：28Z反变换Z反变换的求解方法可得：查表：Z反变换为：29