概率论与数理统计教程(答案及课件)chapter2

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1、第二章离散型随机变量§1一维随机变量及其分布列随机事件可以采取数量的标识。如:抽样检查产品时废品的个数。掷骰子出现的点数。对没有数量标识的事件,可以人为加上数量标志。如产品为优质品记为1,次品记为2,废品记为3。天气下雨记为1,不下雨记为0。例如:(1)射击击中目标记为1分,未中目标记0分。用ξ表示射击的得分,它是随机变量,可取0和1两个值。(2)某段时间内候车室旅客数目记为ξ,它可取0及一切不大于最大容量M的自然数。(3)一块土地上农作物的产量ξ是随机变量,它可以取区间[0,T]的一切值。(4)沿

2、数轴运动的质点,它的位置ξ是随机变量,可以取任何实数,即ξ(-∞,+∞)随机变量按其取值不同,主要有以下2类:(1)离散型随机变量随机变量可能取得的值能够一一列举出来(有限个或可列无限个)(2)连续性随机变量随机变量取值范围不能一一列举,而是连续取值的。本节我们只讨论离散型随机变量。定义.1如果随机变量ξ只取有限个或可列个可能值,而且以确定的概率取这些不同的值,则称ξ为离散型随机变量。一般列成概率分布表:也可写成P(ξ=xk)=Pk(k=1,2,…)称之为概率函数。ξ=x1,ξ=x2,…,ξ=xk,

3、…构成完备事件组。离散型随机变量的分布是指概率分布表或概率函数。性质:Pk≥0,k=1,2,…例1.1.2设100件同类产品中,有5件是次品。在其中任取20件,有件是次品,求次品数的分布律。解可能取的值为0,1,2,3,4,5。(20件产品中有k件次品)由此可算得分布律为012340.3190.4200.2070.0430.0108现介绍几个常用的离散型分布1。单点分布若随机变量以概率1取常数c,即则称此分布为单点分布或退化分布。2。两点分布若随机变量的分布列为则称服从两点分布或(0-1)分布。两点

4、分布是描述只有两个可能结果的随机现象的概率模型。如一件产品“合格”与“不合格”;一次射击“中靶”与“不中靶”。3。二项分布设随机变量可能取值为0,1,2,…,n(共n+1个)。且概率分布为则称服从参数为(n,p)的二项分布,记为4。几何分布例3:从生产线上随机抽产品进行检测,设产品的次品率为p,0

5、时间内收到用户的呼叫次数、某公共汽车站在单位时间里来站乘客的乘客数、一百页书中印刷错误出现的个数、耕地上单位面积内杂草的数目等,如果相应的变量用表示,那么实践证明,的统计规律近似地为:其中是某个常数,容易验证它满足分布列的2条性质。这个分布称作是参数为的泊松分布,记为泊松分布有着广泛的应用,它是概率论中一种重要的分布,在理论上也有特殊地位,它是二项分布的极限分布。定理(泊松定理)设在n重贝努里概型中,事件A在一次试验中出现的概率为(与试验总数n有关),如果满足则证明略。讲解泊松定理的作用。例4已知某

6、种疾病的发病率为1/1000,某单位共有5000人,问该单位患有这种疾病的人数超过5的概率为多大?解设该单位患有这一种疾病的人数为,则这时直接计算无法计算。由于n很大,p很小,这时np=5000x0.001=5不很大,可以利用泊松定理。取有剩下工作查表。例5由某商店过去的销售记录知道,某种商品每月的销售数可以用参数的泊松分布来描述,为了以95/100以上的把握保证不脱销,问该商店在月底至少应进某种商品多少件?解设该商店每月销售这种商品件,月底的进货为a件,则当()时就不会脱销,因而按题意要求为因为已

7、知服从的泊松分布,上式也就是剩下见P70.§2.2多维随机变量、联合分布列和边际分布列也称为n维随机向量。以下着重研究二维随机变量。定义1.2.2如果二元随机变量(ξ,η)所有可能取的数对为有限或可列个,并且以确定的概率取各个不同的数对,则称(ξ,η)为二元离散型随机变量。把(ξ,η)的所有可能取值与相应概率列成表,称为(ξ,η)的联合概率分布表。nξx1x2…xi…也可用一系列等式来表示P(ξ=xi,η=yj)=pij,,(i,j=1,2,…)称为ξ与η的联合分布律。联合分布有如下性质:(1)pi

8、j≥0(3)(3)的证明讲一下。形象的称和的分布列是联合分布列的边际分布。例1.2.1同一品种的5个产品中,有2个正品。每次从中取1个检验质量,不放回地抽取,连续2次。证“ξk=0”表示第k次取到正品,而“ξk=1”为第k次取到次品。(k=1,2)写出(ξ1,ξ2)的联合分布律。解:试验结果由4个基本事件组成。P(ξ1=0,ξ2=0)=P(ξ1=0)P(ξ2=0

9、ξ1=0)=0.1P(ξ1=0,ξ2=1)=0.3P(ξ1=1,ξ2=0)=0.3P(ξ1=1,ξ2=1)

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