概率论与数理统计教程（答案及课件）chapter2

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1、第二章离散型随机变量§1一维随机变量及其分布列随机事件可以采取数量的标识。如：抽样检查产品时废品的个数。掷骰子出现的点数。对没有数量标识的事件，可以人为加上数量标志。如产品为优质品记为1，次品记为2，废品记为3。天气下雨记为1，不下雨记为0。例如：(1)射击击中目标记为1分，未中目标记0分。用ξ表示射击的得分，它是随机变量，可取0和1两个值。(2)某段时间内候车室旅客数目记为ξ，它可取0及一切不大于最大容量M的自然数。(3)一块土地上农作物的产量ξ是随机变量，它可以取区间[0，T]的一切值。(4)沿

2、数轴运动的质点，它的位置ξ是随机变量，可以取任何实数，即ξ(-∞,+∞)随机变量按其取值不同，主要有以下2类：(1)离散型随机变量随机变量可能取得的值能够一一列举出来(有限个或可列无限个)(2)连续性随机变量随机变量取值范围不能一一列举，而是连续取值的。本节我们只讨论离散型随机变量。定义.1如果随机变量ξ只取有限个或可列个可能值，而且以确定的概率取这些不同的值，则称ξ为离散型随机变量。一般列成概率分布表：也可写成P(ξ=xk)=Pk(k=1,2,…)称之为概率函数。ξ＝x1,ξ=x2,…,ξ=xk,

3、…构成完备事件组。离散型随机变量的分布是指概率分布表或概率函数。性质：Pk≥0,k=1,2,…例1.1.2设100件同类产品中，有5件是次品。在其中任取20件，有件是次品，求次品数的分布律。解可能取的值为0，1，2，3，4，5。(20件产品中有k件次品)由此可算得分布律为012340.3190.4200.2070.0430.0108现介绍几个常用的离散型分布1。单点分布若随机变量以概率1取常数c,即则称此分布为单点分布或退化分布。2。两点分布若随机变量的分布列为则称服从两点分布或（0－1）分布。两点

4、分布是描述只有两个可能结果的随机现象的概率模型。如一件产品“合格”与“不合格”；一次射击“中靶”与“不中靶”。3。二项分布设随机变量可能取值为0，1，2，…,n(共n+1个)。且概率分布为则称服从参数为(n,p)的二项分布，记为4。几何分布例3：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品的次品率为p，0

5、时间内收到用户的呼叫次数、某公共汽车站在单位时间里来站乘客的乘客数、一百页书中印刷错误出现的个数、耕地上单位面积内杂草的数目等，如果相应的变量用表示，那么实践证明，的统计规律近似地为：其中是某个常数，容易验证它满足分布列的2条性质。这个分布称作是参数为的泊松分布，记为泊松分布有着广泛的应用，它是概率论中一种重要的分布，在理论上也有特殊地位，它是二项分布的极限分布。定理（泊松定理）设在n重贝努里概型中，事件A在一次试验中出现的概率为（与试验总数n有关），如果满足则证明略。讲解泊松定理的作用。例4已知某

6、种疾病的发病率为1/1000,某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数超过5的概率为多大？解设该单位患有这一种疾病的人数为，则这时直接计算无法计算。由于n很大，p很小，这时np=5000x0.001=5不很大，可以利用泊松定理。取有剩下工作查表。例5由某商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数的泊松分布来描述，为了以95/100以上的把握保证不脱销，问该商店在月底至少应进某种商品多少件？解设该商店每月销售这种商品件,月底的进货为a件,则当()时就不会脱销,因而按题意要求为因为已

7、知服从的泊松分布,上式也就是剩下见P70.§2.2多维随机变量、联合分布列和边际分布列也称为n维随机向量。以下着重研究二维随机变量。定义1.2.2如果二元随机变量(ξ，η)所有可能取的数对为有限或可列个，并且以确定的概率取各个不同的数对，则称(ξ，η)为二元离散型随机变量。把(ξ，η)的所有可能取值与相应概率列成表，称为(ξ，η)的联合概率分布表。nξx1x2…xi…也可用一系列等式来表示P(ξ=xi,η=yj)=pij,,(i,j=1,2,…)称为ξ与η的联合分布律。联合分布有如下性质：(1)pi

8、j≥0(3)(3)的证明讲一下。形象的称和的分布列是联合分布列的边际分布。例1.2.1同一品种的5个产品中，有2个正品。每次从中取1个检验质量，不放回地抽取，连续2次。证“ξk=0”表示第k次取到正品，而“ξk=1”为第k次取到次品。(k=1,2)写出(ξ1,ξ2)的联合分布律。解：试验结果由4个基本事件组成。P(ξ1=0,ξ2=0)=P(ξ1=0)P(ξ2=0

9、ξ1=0)=0.1P(ξ1=0,ξ2=1)=0.3P(ξ1=1,ξ2=0)=0.3P(ξ1=1,ξ2=1)