概率论与数理统计教程（答案及课件）chapter3

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1、第三章连续型随机变量§3.1随机变量及其分布函数例3在区间[4，10]上任意抛掷一个质点，用ξ表示这个质点与原点的距离，则ξ是一个随机变量。若这个质点落在[4,10]上任一子区内的概率与这个区间长度成正比，求ξ落在任意区间[c,d]([c,d][4,10])的概率特别地,若c=d,则所以故此时讨论随机变量落在某一点的概率没意义转而讨论而这就告诉我们,为了掌握的统计规律,只要对任意实数知道就够了,记为.(二)随机变量的分布函数定义2.2若ξ是一个随机变量，对任何实数x，令F(x)=P(ξx)称为F(x)是随机

2、变量ξ的分布函数或分布。对任意实数a

3、，故F(x)=0例2设随机变量X的分布律为当0x<1时，F(x)=P{Xx}=P(X=0)=F(x)=P(Xx)解X求X的分布函数F(x).当1x<2时，F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=当x2时，F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1故注意右连续下面我们从图形上来看一下.的分布函数图设离散型r.vX的分布律是P{X=xk}=pk,k=1,2,3,…F(x)=P(Xx)=即F(x)是X取的诸值xk的概率之和.一般地则其分布函数最后,介绍下指数分布.若的分布函数为则称这个分布函数是参数

4、为的指数分布.则称X为连续型随机变量,称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度.3.2连续型随机变量及其概率密度的定义有,使得对任意实数,对于随机变量X,如果存在非负可积函数f(x),连续型随机变量的分布函数在上连续二、概率密度的性质1o2of(x)xo面积为1这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.vX的概率密度的充要条件利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率对于任意实数x1,x2,(x1

5、为记作其中和(>0)都是常数,则称X服从参数为和的正态分布或高斯分布.事实上,则有曲线关于轴对称；函数在上单调增加,在上单调减少,在取得最大值；当x→∞时，f(x)→0.f(x)以x轴为渐近线根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图.（5）决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.正态分布的图形特点设X~,X的分布函数是正态分布的分布函数正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定，当μ和σ不同时，是不同的正态分布。标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密

6、度函数和分布函数常用和表示：标准正态分布的性质:事实上,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.定理1证Z的分布函数为则有根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.于是书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.正态分布表当x<0时,表中给的是x>0时,Φ(x)的值.若若X～N(0,1),~N(0,1)则=0.97725=0.6826由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎

7、全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当X～N(0,1)时，P(

8、X

9、1)=2(1)-1=0.6826P(

10、X

11、2)=2(2)-1=0.9544P(

12、X

13、3)=2(3)-1=0.99743准则§3.3多元随机变量及其分布以下只研究二元随机变量。如果表示笛卡尔平面上的点的坐标,那么就表示点落在某个区间的概率.并且有如同一维分布函数,可以证明也满足以下性质:对都是单调不减的;对都是右连续的;对任意的,有并且还有有性质：对任意平面区域D,解：P(ξ+η>1)同样地P(η>ξ)2110

14、xy2110xy分别称为二元随机变量(ξ，η)中关于ξ及关于η的边缘分布函数。求导可得相应的概率密度：是关于ξ的边缘概率密度。是关于η的边缘概率密度。解：当a