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《2017_2018学年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法同步配套教学案新人.》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一数学归纳法数学归纳法(1)数学归纳法的概念：先证明当刀取第一值处(例如可取灿=1)时命题成立，然后假设当n=k(kwN卜,k^rh)时命题成立，证明当刀=斤+1时命题也成立.这种证明方法叫做数学归纳法.(2)数学归纳法适用范围：数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明.(3)数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤：①证明当取第一个值久(如取处=1或2等)时命题正确;②假设当n=k(k£N+,k^rh)时结论正确，证明当/?=殳+1时命题也正确.由此可以断定，对于任意不小于必的正整数刀，命题都正确.对应学生用书P39希点一利用数学
2、川纳法证明恒等式［例1］证明：当刀M2,刀WN+时，16丿In)2/7•［思路点拨］注意到这是与正整数&有关的命题，可考虑用数学归纳法证明.132+13［证明］⑴当刀=2时，左边=1一玄=?右边=氏=；/•当n=2时,等式成立.(2)假设n=k(kN2,圧N+)时等式成立,B
3、J：当n=k+1时，12kk+1「k+2k+1k++12k+l~~•:当n=k+1时，等式也成立，由(1)(2)知，对任意刀22,/?eN+等式成立.［方法•规律•小结］~利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述刀=心时命题的形式，二是要准确把握由n=k到
4、〃=&+1时，命题结构的变化特点.并且一定要记住：在证明刀=斤+1成立时，必须使用归纳假设.〃〃几題他臬钊勿％1.在用数学归纳法证明，对任意的正偶数刀，均有1-V-1234占-+=2（出+尙+••・+韶成立时，(1)第一步检验的初始值几是什么？(2)第二步归纳假设n=2k时(WWN+)等式成立，需证明刀为何值时，方具有递推性；(3)若第二步归纳假设n=k{k为正偶数)时等式成立，需证明/7为何值时，等式成立.解：⑴心为2.此时左边为1—*,右边为2x
5、=
6、.(2)假设心2斤(圧N+)时，等式成立，就需证明心2&+2(即下一个偶数)时，命题也成立.
7、(3)若假设n=k(k为正偶数)时，等式成立，就需证明n=k+2{即&的下一个正偶数)时，命题也成立.2，求证：1+T+2+l+2+3+，，，+l+2+3+-+/?=^+T(/?GN+)*oX1证明：(1)当刀=1时，左边=1,右边=所以左边=右边，等式成立.12k1+2+3+・・・+广7^7(2)假设当n=k(J&,圧N+)时等式成立,则当时，111n=k+1+1+1+2+1+2+3+1+2+3+•••+&12k12k+1+2+3+--+k+k+k+1l+2+3+・・・+k+k+一k+22k+l22k+l即1+士轲+•••+A+1&+
8、2A+1&+2A+1+T这就是说，当n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对任何“GN+等式都成立.用数学归纳法证明整除问题［例2］求证：#"—#"SwN+)能被x+y整除.［思路点拨］本题是与正整数有关的命题，直接分解出因式d+y)有困难，故可考虑用数学归纳法证明.［证明］⑴当〃=1时，x—y=(%+y)(%—y)能被x+y整除.(2)假设n=k(kM,圧N+)时，xk—yk能被x+y整除,那么当n=k+1时，/奸2—严+2=x•xk—y•yk~xyk+xyk2/2k2磁
9、2k/22=Xx—y)+yU—y)VZ-Z与/一#都能被x
10、+y整除，・・・/(/—戸)+/(/-/)能被％+y整除.即n=k+1时，Z+2-Z+2能被x+y整除.由(1)(2)可知，对任意正整数〃命题均成立.［方法・规律・小结］——利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式.这就往往要涉及到“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出n=k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证.〃〃儿龜值集剎'〃〃/3.用数学归纳法证明：(3〃+l)7”一15wNQ能被9整除.证明：①当〃=1时，4X7—1=27能被9整除命题成立.②假设n=k时命题成立，即(3斤+1)・7"—1能被9整除，当n=
11、k+时，[(3斤+3)+1]・7*+】一1=[3斤+1+3]・7・7*—1=7・(3A+1)・7A-1+21・7k=[(3&+1)・7a-1]+18A・7x+6・7a+21・T=[(3W+1)・7a~1]+18A・7a+27・7由归纳假设(3斤+1)・7"—1能被9整除，又因为18斤・7"+27・〃也能被9整除，所以[3伙+1)+1]・7^—1能被9整除，即n=k+1时命题成立.则①②可知对所有正整数〃命题成立.4.用数学归纳法证明：1—(3+"(用N+)能被卄2整除.证明：(1)刀=1时，1—(3+/)=—匕+2),能被az+2整除，命题成
12、立.(2)假设n=kg1)时，1—(3+力"能被x+2整除，则可设1—(3+0〃=匕+2)tx)g)为k-1次多项式),当刀=斤+1时
