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《高中数学第四讲数学归纳法证明不等式42用数学归纳法证明不等式课堂导学案新人教》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、4.2用数学归纳法证明不等式课堂导学三点剖析一、利用数学归纳法证明不等式的技巧(一)【例1】对于neN,证明一!b—!!—>1.n+1n+23n+113证明：当n二1时，左边二一>1二右边；12设n二k时，有一-——F11>1;£+1£+23k+1当n=k+l时,左边111/111111=(11)=1k+2k+33R+13k+23R+33Z4R+lk+21z1111、i112dF(F1)>IH13£+l3£+23k+33£+4k-V3k+23k+43R+32=1+>1二右边.(3k+2)(3/:+3)(3*+4)所以对一
2、切自然数n不等式均成立.温馨提示解此题的关键是凑出归纳假设的形式，这里要把握不等式左边式子的结构特征，明确从n二k到n=k+l增减的项.各个击破类题演练1对于nWN,试比较2"与『的大小.解析：先验算n=l时,2n>n2,n=2和n=4时,2n=n2,n=3时,2n『，猜测对n>5有2">『・用数学归纳法证明如下：(1)当n二5时，已证.(2)设当n=k(k^5)时,2k>k2_Bk2>2k+l.当n=k+l时，2k+1=2・2k>2k2>k2+2k+l=(k+l)2,即n=k+l时成立.由
3、(1)、(2),知猜测正确.变式提升1求证：1+—F—H1>—.23V-12证明：用数学归纳法.当n=l时，显然不等式成立.根据归纳假设，当n二k时，命题成立，即,111k232k-12要证明n二k+1时，命题也成立，即.②要用①来证明②，事实上,不等式②的左边.接下来,对不等式①两边加上只需证护+z111、2k2*+12^-11、1厂、H12—.③2叶一12就凑好了11112*2*1③式左边共有炉项’且尹n最小’故豕+尹石+…+产季口>戶二亍这就证明了③式成立.综上，知不等式成立.二、利用数学归纳法证明不等式的技巧(二
4、)【例2】已知n是大于1的自然数，求证：1,1证明:假设MR时，原不等式成立，即(")(4(冷)…叫—则当n=k+l时，左边二(351+—)(1+—57)〉—Q2k+1.2■(^^)>2£+1•(1+12^+1)二1血+1).现在知E+歯冷斫丙,直接证较繁,下面用分析法证之欲证丄(竝+1+—)>丄J2伙+1)+1,即证血+1+—>血+3，只需2竝+12加+1证2k+l+—J—+2>2k+3,即一J—>0.这显然是成立的，故当n二k+1时，原不等式成立.2£+12£+1综上，当n为大于1的自然数时，原不等式成立.温馨提示用
5、数学归纳法证明不等式时，从P(k)到P(k+1)的过渡往往用到不等式的传递性，即要证n二k+1时不等式成立(不妨用A(k+l)MB(k+1)表示),需n二k时，A(k)MB(k)成立,然后有A(k+1)=A(k)+C(k)>B(k)+C(k),类题演练2在数列｛aj中,
6、Qu
7、〈2,且缶+❻厂2缶+1+2缶〈0,2求证：ah>(nEN).n证明:V
8、an
9、<2,-20.2d由题设an+i(2-a„)>2an,则an-i>――2—.2-©21°当n=l时，由
10、an
11、<2,得a】>-2二一了成立.22
12、2°假设当n=k时，有弘>——成立.(下证弘+1>成立)kk+2Y设f(x)=—L，易知f(x)在(-2,2)内是单调递增的，又ak+l>f(ak),*归纳假设，可知2—兀、2ak>,k2••ak+i>f(3k)>f()-k2即当+时,a亠市成立•故对任意心,Qi〉成A£・n变式提升2设a,bERWN：求证：宀+夕承£±^)[22证明：①冃时，左边訪边二竽，原不等式成立.&JR■②设"k时，原不等式成立，即宁沢牛)•成立.成立.Va,beR；£+1f4°1J・・・要证明+时原不等式成立，即证明n(守)-成立•成立.
13、只需证明:ak+1+bk+1^abk+akb成立.下面证明:ak+1+bk+1>abk+akb成立.不妨设a>b>0,则ak，1+bk，1-abk-akb=(ak-bk)(a-b)$0.ak，1+bk，1^abk+akb成立.故n二k+1时原不等式成立.由①②，可知对于任何nEN原不等式成立.三、数学归纳法证明不等式的点问题【例3】证明n为一切自然数时，(l+2+・・・+n)・(1+丄+・・•+丄)2n证明：先看下面的证明(1)n=l时，左边二右边二1,命题正确.(2)假设n-k(kN且kMl)命题正确,即(1+2+…
14、+k)•(1+—+•••+—)Mk；贝Jn-k+1时，2k左边二[1+2+…+k+(k+l)][1+—+・・・+—+一-一]二(l+2+・・・+k)・(1+—+・・・+—)2k2k1+2+・・・k1iii1++(k+l)•(1+—+…+—)+12k~+—k+(k+l)仃+—+…+—)+1,£+12k22kV1+—+-
