《高等数学》期末考试试卷3标准答案

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1、《高等数学》期末考试试卷3标准答案一•选择题（每小题3分）CDCBCDA二求下列函数极限（每小题6分）（l）lim2^=llimsinkx=0kk5(2llim1XfRxZ丿⑶氓Inxx—】1丄=Um(x-l)-lnx=iimi(x-l)lnx71际+(「1)2x-1=lim=lim=—"xlnx+(x-1)Zm+x丄+12三求下列函数的导数（每小题6分）Illln^cosx-Insinx（两边取对数I—-y=-sinx-Insinx+cosx-y1sinx・COSX••・y=(sinx)®COS'X.t•—;sinxInsinx、sinx(2llny=£IIn(3x—2)-In(5—2xi

2、-In(x-11

3、两边同时求导.J3x-2「321I-2{(5-2x1(x-1)*、、3x-25-2xx-l丿(3)两边同时求导ex*y-(1+yf)=cos(xy

4、(xy‘+y)e1_y-xcosIxyIiy'=ycos(xy)-e，v"yycosixyi-e；；--或用两边同时取微分）-xcoslxy）(4)y=xexy-ex+xe1=(14-x)exy^e1+xe1+e1=(2+x)e1y"=(n+x)ex应用数学归纳法易证：y'f-=(n+x)ex四•求下列积分⑴J證冷J詈新匕⑺+习“泊”"(2).finxdx=xlnx-[xdlnx=xlnx-fx—dx=xlnxJx-Jdx=xln

5、x-x+c令x+2t2+2=t=>x=———x-lt2-lt2-l-6t._f鬥F+2)u-6t2--2plarctan[in(t-l)-ln(t+l)]+c=-2flarctanx+2血・x-2—x+2五•解：(l)xG/?JixHl/、(x-3)2(x-3)2(2)lim~=+8，lim=-oo7x->r4(x-l)4(x-1)则X=1足曲线的垂直渐近线。k=lim=lim"一耳二1•exx*4x(x-l)4(x-3?)x4(x-l)4(・x2-6x+9-x2+x=lim-5x+954(x-l)=limi，4(x-l)4直线y=A_Ao即x-4y=5是Illi线的斜渐近线。44'丿I

6、丿4(x—1)2I丿(X-1)3令f，(x)=O,=>X]=-l,x2=3o令f"(x)=O,无解，即没有拐点。(-00,1)-1(-1,1)(1,3)3(3,+oo)F(x),+0-—0+f"(x)---+++t极大点1极小点TF(X)严凹严1叫严

7、"

8、严凸故(-00,-1),(3,+00)是单独递增区间。(-1,1)(1,3)是单调递减区间。-1是极大点，极大值是-2。3是极小点，极小值是0o(4)(-oo,-l)(-1,1)是严凹的,(1,3)(3,+oo)是严凸的。六・证明:11A1Hm/(OlAxW(O)=lim2+8AX-^lax®Ax心"Ax81_Vl—Ax1rf(O+Ax)-f

9、(O)rlim=limaxto~Axaxt(t△x2Ax—2丄(1-Ax)4.(-1)-12-2/l-Ax-Ax二lim心~>O-l.(l-AxPH)1=lim=—4Ax心a-48・•.f(x)在x=O处可导，从而f(x)在x=O处连续。lim心tOlim2A2x(1-Axp-14Ax3故f(x)在x=O处连续，可导。