《高等数学》期末考试试卷1标准答案

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1、《高等数学》期末考试试卷1标准答案一、选择题（10%,每题2分）1C2B3A4D5A二、填空题（10%,每题2分）1.12.y=4x-43.y（n）=nex+xex14.-25.—*F（U）+C三、求下面函数的极限（20%,每题5分）x~—2x—31.lim—XTOO〒+3^+2lim(V-3)(V+1)io(兀+2)(x+l)lim^-28(x+2)解：limV'-2v-3xt8x-+3x+22.limtanA：SinXiosinx解：limxtOtanx-sinx・3sinx“1-cosxlim—xt°cosxsirTxlim—!—xt°COSXsin2x=lim——-——202cos

2、xsir?兰2(f)27sin2xy-4-Q3.lim(匸上)申f兀+1解：lim(±0X*x+1_24.lim(I+3x)sinr•vtOX+l.r+l=lim(l+——)XT8X+1y-L0解：lim(—)x+l2°°X+12、“・ln(l+3x)“In(l+3x)“3———ln(l+3x)2lim——:2lim2lim(=]imgsinx—£sinx=£x=£x->°l+3x—・YT()1.解：*(252)arctanM1.(2xlnx+x)sinx-cosx(x2Inx)1+兀sin"x四.求下列函数的导数（20%,每题5分）=271n2.arctan12)+"(21心+1)一(匕

3、曲1+xsinxsinx2.等式两边同时取对数，得Iny=tanx•Inx两边同时対x求导，得丄/=sec2xlnx+土1上所以3.解y=xtanv(sec2兀+Inx伽").各项分别求导exy(xyY+j/lnx+—=-2sin2x,,zyex)(y+xy)+yInxh—=-2sin2x,・xyxex)+Inx)=-yeX)一—-2sin2x,Xxyevv++2x•sin2xx2eAv+xInx4•解：对原式两边取对数得:Iny=3ln(x+1)+*ln(x+2)-51n(x+3),于是7=771+1^2兀+3'#=(x+l)'S2

4、丄+五.求不定积分（20%,每题5分）1.解:_7d

5、x=jx3dx1丄—z—r37/13+C=--x3+C=-一+C.44xyjx2.解：原式=[x2exd（x1ex+x+2-^—dx2exx+2x2ex+x+2x2ex—-—(2xex+x1ex)dxx+2”一exdx二+xex-ex+cJx+22x则“Kzll,dx=^L2r2-l所以原式=卜亠一dt=4—dt=-lnI—I+c=丄InJ"»+c.Jr(r2-1)Jr2-12

6、r+l

7、2皿書+1六、证明题(10%)1・/(兀)一/(d)1・/(x)、证由于lim=11m=/+(d).x-aXT”x-alim/UW(^)=limAx)5"x_bx-b根据(3)不妨设£(°)>0,力(b

8、)>0,山局部保号性原理知，存在5>0,使xg(a,a+/),xw@一6,b),且a+/vb-5II寸，有f(x)_.f(x)_厶L=〉0与厶L二〉0.x-ax-b今取ciw(a,a+5),C2w(b-》,b),则有迤>0,如>0.c,-ac2-b又因C]一a>0疋2-b>0,故f(cj>0,/(c2)<0./(x)在[cvc2](z[a9b]上连续，且/(c,)-/(c2)<0,由介值定理知，存在兵(q,C2)u(a劝，使/(^)=0,即§为/•(力的一个零点.七、画图题(15%)解函数的定义域为(-oo,l)U(l,+oo)当XH0时，利用对数求导法得Iny=3Inx-In2-2Inx

9、-1,从而有x2(x-3)2(x_1)3y'32x-3-—zz二yxx-1x(x-l)当兀=0时,)/(0)=lim心t()y(O+g-y(0)Ay=14山TOZ=0因此，函数可能的极值点为x,=O,x2=3.容易验证，当xvO时，y>0；当0vxv1吋，y>0；当1vx<3时，y<0:当x>3时，y'vO.3r再利用对数求导法可得)/=石冷(X丰0)由定义可求得y"(0)=0,函数的单调性，凹凸性，极值与拐点见下表X0)0(0,1)(1,3)3(3,+8)/y+0+——0+y—0+++y厂0拐点7278极小值7山于limy=+oo,从而x=l为垂直渐进线，XT1又因为lim竺=lim—匚

10、右lim[y(x)--x]=lim2x=1XT8XXToo2(X-1)~2XT82XT82(兀一1)~Y所以斜渐进线为y=-+.2两数的图形如图