1.2.4正弦、余弦定理应用

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1、1.2.4N耗、金耗定理复习学习目的：i・进一步掌握利用正、余弦定理的应川。2•熟练掌握并正确应用正弦余弦定理学习重点：熟练掌握并正确应用正弦余弦定理学习难点：熟练掌握并正确应用正弦余弦定理课堂过程：一、复习引入：1、正弦定理：1=-^=」一=2/?sinAsinBsinC2、三角形面积公式：S5=—besinA=—casinB=—absinC^BC2223、正弦定理的变形：a=27?sinA、b=27?sinB.c=27?sinCsinA=sinB=,sinC=-^—2R2R2RsinA:sinB:sinC=6Z:Z?:c2224余

2、弦定理：a2=/?2+c2-2/?ccosA,ocosA=—2bc22&2b2=c2+a2-2cacosB,<=>cosB=lea-a2+b2-2abcosC,<=>cosC=(I?+&2_C?lab在AABC中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用：A+JS+C=〃;sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC.A~i~BCAB.Csin=cos——.cos=sin—2222例1、根据所给的条件，判断AABC的形状。（X）acosB=bcosA⑵acosA=bcosB解：①acos

3、B=bcosA,a2^c2-bL,b2+c2-a・・・a・()=b•()lac2bc^a2+c2-b2=b2+c2-a2:.2a2=2b2・・・a=b・・・AA〃C为等腰三角形。法二：由acosB=bcosA得2RsinAcosB=2RsinBcosA.・・sinAcosB-sinBcosA=0即sin(A-B)=0.A=B)"•()解：(2)vacosA=6cosB・・・(a2-b2)(c2-a2-b2)=0.a2=b2^c2-a2-h2=0・a=b^c2=a，+b，:.AABC为等腰三角形或直角三角形。法二：由acosA

4、=bcosB得2RsinAcosA=2RsinBcosB:.sin2A=sinIB:.2A=2B^2A=7P-2B即A=B^A+B=-2例2在MBC中已矢M=2处osC,判断MBC的形状。法一:由正弦定理得：a=〃sin”=2》cosCsinB2丄胪_2法二：由余弦定理得：cosC==—lab2b/.MBC为等腰三角形在判断三角形形状时，主要通过三角形边或角之间关系进行判断，将已知条件利用正弦定理统一为角的关系，或用余弦定理统一为边的关系，有时也可以结合两者运用。例3已知ZABC的三内角A、B、C成等差，而A、B、C三内角的对边a、

5、b、c成等比，试证明：AABC为正三角形。证明：TA、B、C成等差，A2B=A+C,XA+B+C=180°,AB=60°,A+C=120°Va>b、c成等比，/.b2=ac又由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accos60=a2+c2-ac:.ac=a2+c2-ac,gp(a_c)2=0,Aa=c又VB=60°,•••△ABC是正三角形。例4锐角三角形中，边〃是方-2/3x+2=0的两根，角A、B满足2sin(A+B)—Vi=0,求角C的度数，边c的长度及AABC的面积。解：•••2sin(A+B)—=si

6、n(A+B)=——为锐角三角形2.・・A+B=12(rr.C=60p•.•边a、方是方程x2-2v3x+2=0的两根.a+b=2、/3,ah=2:.c1=a2+b2-2abcosC=(a+方)2—3ab=12-6=6二c=76•・・—=診sinC冷x2x宁二乎三、课堂练习：假定口动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑动摩擦系数为0・3,油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1・95米，AB与水平线之间的夹角为6°20AC长为1・40米，求货物开始卜•滑时BC的长.解：设车箱倾斜角为亠货物重量为mgf=pN=pmgcos6cABC

7、'p:ZBAC=16°42'+6°20'=23°02'当［imgcosff

8、组1.2