2018高考数学考点突破——平面向量与复数：数系的扩充与复数的引入+含解析

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1、数系的扩充与复数的引入【考点梳理】1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如d+bi(Q,b^R)的数叫复数，其中a,b分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+bi为实数，若心0,则a+bi为虚数，若°=0且bHO,则a+bi为纯虚数.(2)复数相等：a+b=c+d^a—c,b—d(a,b,c,d^R)・(3)共辘复数：a+bi与c+di共轨0a=c,b=—d(a,b,c,dWR)・(4)复数的模：向量庞的模r叫做复数z=a+hi的模，即z=a+hi=^a2+h2.2.复数的几何意义复数z=a+bi^-一对应a复平面内的点Z(g,b)-一对

2、应a平面向量OZ=(a,b).1.复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设z=a+bi,Z2=c+di,a,b,c,dWR.zi±Z2=(a+bi)土(c+di)=(a±c)+(b土c/)i.zi•Z2=(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(bc+ad)Lzia+biac+bd,bc~ad.t孑卫石了+的护"H0)・(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即庞=OZ1+OZ2,zJ2=OZ2-OZi.【考点突破】考点一、复数的有关概念Z【例11

3、⑴若z=4+3i，则百=()(2)i是虚数单位，若复数(1一2i)(d+i)是纯虚数，则实数a的值为［答案］(1)D(2)-2［解析］(l)・.・z=4+3i,・・・：=4—3i,

4、z

5、=^42+32=5,.］4—3i4j••肓=5=§_亍.(2)由(l-2i)(a+i)=(a+2)+(l-2a)i是纯虚数可得。+2=0,1—2^工0,解得a=—2.【类题通法】1•复数的分类、复数的相等、复数的模，共辄复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,bWR)的形式，再根据题意列出实部

6、、虚部满足的方程(组)即可.2・求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z,然后利用复数模的定义求解.【对点训练】1.已知i为虚数单位，复数乙二比的虚部为()B.C5D1［答案］D［解析］复数z=比=(2综)(丄i)=^M+令'则其虚部为右故选D.B半D.22.设z=］+)+i,贝】J

7、z

8、=()A.*「迈2［答案］B［解析］z=++i=*+i=*+

9、i,lz

10、=J*)2+(*)2=］考点二、复数代数形式的四则运算【例2】⑴已知复数z满足(z—l)i=l+i,则z=()A.—2—iB・一2+iC・2-iD.2+i(2)已知q,bWR,i是虚

11、数单位，若(l+i)(l—bi)=o,贝盘的值为.

12、答案

13、(1)C(2)2i

14、］［解析］(l)・.・(z—l)i=i+l,=l-i,・・・z=2—i,故选C.(2)・.・(l+i)(l—bi)=l+b+(l—b)i=d,又a,bWR,：.+b=a且1一5=0,得d=2,b=1,.•.万=2.【类题通法】1・复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共馳复数，注意要把i的無写成最简形式.2•记住以下结论，可提高运算速度]Ii]i(1)(1土i)2=±2i；(2)[=i;(3届=_i;(4)—b+ai=i@+bi)；

15、(5)i4n=l；：4”+1一•1—1：4n+2一1一i4w+3=-i(neN).【对点训练】(1—i)~1.已知—厶T+Ki为虚数单位)，则复数z=()A.1+iB・l—iC.-1+iD.-1-i［答案］D［解析］由-^=l+bz=_hT=T+1=(i+i)(i-i)=-1故选D・2.已知i是虚数单位，倚)+(咅.［答案］1+i

16、+j4x252+l=1+i.考点三、复数的几何意义【例31⑴已知z=(加+3)+伽一l)i在复平而内对应的点在第四象限，则实数加的取值范围是()A.(-3,1)B.(—1,3)C・(1,+oo)D・(—8,—3)(2)设

17、复数Z［,Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，zi=2+i,则Z］Z2=()A.-5B・5C・—4+iD・—4—i［答案］(1)A(2)A［m+3>0,［解析］⑴由题意知［即一3

18、于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决