高考数学复习平面向量数系的扩充与复数的引入第26讲数系的扩充与复数的引入优选学案

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1、第26讲 数系的扩充与复数的引入考纲要求考情分析命题趋势1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.2017·全国卷Ⅰ,32017·全国卷Ⅱ,22017·全国卷Ⅲ,22017·山东卷,22017·北京卷,2复数的概念(如实部、虚部、纯虚数、共轭复数、复数的模)及复数的四则运算(特别是除法运算)是高考考查的主要内容,复数的几何意义常与解析几何知识交汇命题.分值:5分1.复数的有关概念(1)复数的概念:形如a+bi(a,b∈R

2、)的数叫做复数,其中a,b分别是它的__实部__和__虚部__.若__b=0__,则a+bi为实数;若b≠0,则a+bi为虚数;若__a=0且b≠0__,则a+bi为纯虚数.(2)复数相等:a+bi=c+di⇔__a=c且b=d__(a,b,c,d∈R).(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔__a=c且b=-d__(a,b,c,d∈R).(4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面.__x轴__叫做实轴,__y轴除去原点__叫做虚轴.实轴上的点都表示__实数__;除原点外,虚轴上的点都表示__纯虚数__;各象限内的点都表示__非

3、纯虚数__.复数集用C表示.(5)复数的模:向量的模r做复数z=a+bi的模,记作__

4、z

5、__或__

6、a+bi

7、__,即

8、z

9、=

10、a+bi

11、=____.2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).(2)复数z=a+bi__平面向量__(a,b∈R).3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则:①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=__(a+c)+(b+d)i__;②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=__(a-c)+(b-d

12、)i__;③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=__(ac-bd)+(ad+bc)i__;④除法:==____(c+di≠0).(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律,即对任意z1,z2,z3∈C,有z1+z2=__z2+z1__,(z1+z2)+z3=__z1+(z2+z3)__.4.i乘方的周期性in=其中k∈Z.5.共轭复数与模的关系z·z=

13、z

14、2=

15、

16、2.1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)若a∈C,则a2≥0.( × )(2)在实数范围内的两个数能比较大小,因而在复数范围内的两个数也能比较大小.( 

17、× )(3)一个复数的实部为0,则此复数必为纯虚数.( × )(4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模.( √ )解析 (1)错误.若a=i,则a2=-1<0,因而(1)错.(2)错误.若两个复数为虚数,或一个为实数,一个为虚数,则它们不能比较大小.(3)错误.当虚部也为0时,则此复数为实数0.(4)正确.由复数的几何意义可知该结论正确.2.已知a∈R,i为虚数单位,若(1-2i)(a+i)为纯虚数,则a的值等于( B )A.-6  B.-2  C.2  D.6解析 由(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i是纯虚数得由此解得a=

18、-2.3.若a,b∈R,i为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则( D )A.a=1,b=1  B.a=-1,b=1C.a=-1,b=-1  D.a=1,b=-1解析 由(a+i)i=b+i,得-1+ai=b+i,根据两复数相等的条件得a=1,b=-1.4.若复数z满足=2i,则z对应的点位于第__二__象限.解析 z=2i(1+i)=-2+2i,因此z对应的点为(-2,2),在第二象限内.5.若复数z满足z+i=,则

19、z

20、=____.解析 因为z=-i=1-3i-i=1-4i,则

21、z

22、=.一 复数的有关概念(1)复数的分类及对应点的位置问题都

23、可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.【例1】(1)(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( C )A.i(1+i)2  B.i2(1-i)C.(1+i)2  D.i(1+i)(2)(2016·江苏卷)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是__5__.(3)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为____.解析 (1)i(1+i)2=i·2i

24、=-2,不是纯虚数,排除A项;i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数,排除B项;(1+i)2=2i,2i是纯虚数.故选C.(2)(1+2i

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