专题21实际问题中的解三角形问题-备战2017年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

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1、葩考纲要求：1.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.2•研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.常见的命题角度有：（1）两点都不可到达；（2）两点不相通的距离；（3）两点间可视但有一点不可到达.基础知识回顾:1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角.（如图（a））.东2.方位角：从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平

2、夹角叫做方位角.如B点的方位角为a（如图（b））・3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）XX度.4佥=為血=2凡其中斤是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形：(1)abc=sin力：sinBsinC；(2)a=2^sinA,方=2斤sinB,c=2&sinC.5.余弦定理：a=l)+c2—2Z?ccosA,1)=a+c—2accosB,c=a2+Z?2—2aZx?osC.变形:cosA=2bcC0SA2accosC=a2+h2-c2lab6•在△磁中，已知禺方和S解三角形时，解的情况⑴5=

3、

4、a・几（九表示a边上的高）.(2)S=^absinC=^acsinB=^bcsinA=abc昇为锐角M为钝角或直角图形C八AB；w'B、1C空力―BcCkA-BAcB关系式cibaWb解的个数无解一解两解一解一解无解7.三角形常用的面积公式⑶5=

5、r（a+b+c）（r为内切圆半径）.拓应用举例：类型一、测量高度问题【例I】如图，为测得河岸塔的高，先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上，测得点/的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走1（）米到位置D,测得ZBDC=45°,则塔肋的高是

6、米.【例2】要测量.电视塔力3的高度，在C点测得塔顶力的仰角是45°，在D点测得塔顶/的仰角是30°,并测得水平面上的ZBCD=20°,CD=4（）m,求电视塔的高度.点评：求解高度问题应注意的3个问题（1）在处理有关高度问题吋，要理解仰角、俯角（它是在铅垂面上所成的角）、方向（位）角（它是在水平面上所成的角）是关键.（2）在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地而）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形,一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.类型二、测量距离问

7、题研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.常见的命题角度有：（1）两点都不可到达；（2）两点不相通的距离；（3）两点间可视但有一点不可到达.【例3】如图，A,〃两点在河的同侧，且3两点均不可到达，要测出力B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C,D测得CD=a,同时在C,D两点分别测得ZBCA=a,ZACD=卩,ZCDB=y,ZBDA=d.在△/DC和△BDC中，由正弦定理分别计算出/C和BC,再在中，应用余弦定理计算出MB.若测得仞=专km,ZAD

8、B=ZCDB=30°,ZACD=60°,ZACB=45°,求B两点间的距离.【例4】如图所示，要测量一水塘两侧3两点间的距离，其方法先选定适当的位置C,用经纬仪测出角再分别测出MC,BC的长b,G,则可求出B两点间的距离.即AB=yJa2+b2~2abcos若测得C4=400m,CB=600m,ZACB=60°,试计算MB的长.【例5】如图所示，A,3两点在一条河的两岸，测量者在/的同侧，且3点不可到达，要测出力3的距离,其方法在/所在的岸边选定一点C,可以测出/C的距离〃7,再借助仪器，测出ZACB=afZCAB=卩,在/ABC中，运用

9、正弦定理就可以求｛WAB.若测出AC=60m,ZBAC=75°,ZBCA=45°,则儿B两点间的距离为m.点评：求距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另确定三角形屮求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.类型三、测量角度问题【例6】在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时1

10、4nmile的速度，沿北偏东45°方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角a的正眩值.【例7】如图，位于/处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海