专题21实际问题中的解三角形问题-备战2017年高考高三数学一轮热点难点一网打尽（原卷版）

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1、【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第21讲实际问题中的解三角形问题再考纲要求：1.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.2.研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.常见的命题角度有:（1）两点都不可到达；（2）两点不相通的距离；（3）两点间可视但有一点不可到达.'恐基础知识回顾:1.仰角和俯角•在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫

2、俯角.（如图（a））.2.方位角：从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为么（如图（b））・3・方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）XX度.F=為盒診其中斤是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形：(1)abc=sinA:sinBsinC；(2)a=27?sinA,b=2RsinB,c=2«sinC.5.余弦定理：a=1)+c—2bccosA,1)=a+c2—2accosB,c=a+l)—2abcosC.变形:12i22b+c—acosA=Zbc厂a2+

3、c2—Z?2C0SB=2accosC=a2+A2-c2lab6•在△磁中，已知日，b和貳解三角形时，解的情况力为锐角力为钝角或直角图形A.cAcAB、、/、一’BA”BAcBAAB关系式abaWb解的个数无解一解两解一解一解无解7.三角形常用的面积公式]_11]abc(1)S=~a•九(九表示a边上的高)•(2)S=~absinC=~acsinB=~bcsinA=—r^.(3)5=

4、r(a+Z?+c)(_r为内切半径）.应用举例:类型一、测量高度问题【例1】如图，为测得河岸塔43的高，

5、先在河岸上选一点C,使C在塔底3的正东方向上，测得点4的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置£>,测得ZBDC=45°,则塔A3的高是米.【例2】要测量.电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的ZBCD=nO°,CD=40m,求电视塔的高度.点评：求解高度问题应注意的3个问题（1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角（它是在铅垂面上所成的角）、方向（位）角（它是在水平而上，所成的角）是关键.（2）在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两

6、个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起來既清楚又不容易搞错.（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.类型二、测量距离问题研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.常见的命题角度有：（1）两点都不可到达；（2）两点不相通的距离；（3）两点间可视但有一点不可到达.【例3】如图，A,3两点在河的同侧，且A,3两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得CD=a,同时在C,D两点分别测得ZBCA=a,Z

7、ACD=p,ZCDB=yfZBDAF.在△ADC和△BQC中，由正弦定理分别计算出AC和BC,再在△ABC中，应用余弦定理计.算出AB.若测得CD=^km,ZADB=ZCDB=30°,ZACD=60°,ZACB=45Q,求4,B两点间的距离.【例4】如图所示，要测量一水塘两侧A,B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C,用经纬仪测出角g再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出A,B两点间的距离.即AB=p/+b2—2"cos久,若测得CA=400m,CB=600m,ZACB=60°,试计算AB的长.【例5】如图所示，4,B两点在一条河的两岸，

8、测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出AB的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C,可以测出AC的距离加，再借助仪器，测出ZACB=afZCAB=p,在△ABC中，运用正弦定理就可以求fl!AB.若测出AC=6()m,ZBAC=75°,ZBCA=45°,则A,B两点间的距离为m.点评：求距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另-•确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.类型三、测量角度问题【例6】在一次

9、海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察