备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题27 实际问题中的解三角形问题

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1、专题27实际问题中的解三角形问题考纲要求:1.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2.研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达．基础知识回顾:1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))．　　图(a

2、)　　　　　　　　　　　图(b)2．方位角：从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图(b))．3．方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．4.＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.5．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC

3、．变形：cosA＝，cosB＝，cosC＝.6.在△ABC中，已知a，b和A解三角形时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解7.三角形常用的面积公式25(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．应用举例:类型一、测量高度问题【例1】【东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学2017届高三下学期第四次联合模拟考试数学

4、（理）试题】如图，一条巡逻船由南向北行驶，在处测得山顶在北偏东方向上，匀速向北航行分钟到达处，测得山顶位于北偏东方向上，此时测得山顶的仰角，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行分钟到达处，问此时山顶位于处的南偏东什么方向？【答案】（1）航行速度是每小时千米.（2）山顶位于处南偏东.25【例2】　要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度．【答案】10【解析】如图，设电视塔A

5、B高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，则BD＝x.在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，所以电视塔高为40m.点评：求解高度问题应注意的3个问题25类型二、测量距离问题研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2

6、)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达．【例3】【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】如图所示，某公路一侧有一块空地，其中，．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON＝30°．（1）若M在距离A点2km处，求点M，N之间的距离；（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．【答案】（1）（2）最小面积是【解析】试题分析：（1）先利用余弦定理分别求出，再利用角

7、度转化和正弦定理求出；（2）设，利用三角形之间的正余弦定理转化应用，解得，应用函数化简技巧，解得最小值。25（2）解法1：设AM＝x，0＜x＜3．在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝x2－3x＋9，所以OM＝，所以cos∠AOM＝＝，在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝．由＝，得ON＝·＝．所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···＝，0＜x＜3．令6－x＝t，则x＝6－t，3＜t＜6，则S△OMN＝＝(t

8、－9＋)≥·(2－9)＝．当且仅当t＝，即t＝3，x＝6－3时等号成立，S△OMN的最小值为．所以M的位置为距离A点6－3km处，可使△OMN的面积最小，最小面积是km2．25点睛：一般的，在平面几何中的解三角形，要掌握条件中的已知量，能够准确找到已知条件多的三角形作为切入点，同时灵活应用图形中的共同直线进行三角形之间的相互转化。在最值问题中，学会函数求最值