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《模块3热点题型二数列的证明和求数列通项公式【高考数学热点题型】》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、热点题型二数列的证明和求数列通项公式数列的通项公式在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式也是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程屮往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。【基础知识整合】一、等差（等比）数列的证明常用方法：1.定义法判断一个数列是等差数列，常采用的两个式子%=d和色+厂％二d有差别，前者必须加上否则〃=1时&）无意义；在等
2、比数列中一样有：①心2时，有d=・・=q（常数qHO）；②朋NF寸，有也=••・=§（常数qHO）.色-1Q”2.中项法①+賂2=2%os”｝是等差数列，％”+2=Q“+ja工0）oa｝是等比数列，这是证明数列｛色｝为等差（等比）数列的另一种主要方法二、求数列通项公式的常用方法:1.公式法、利用0“=55=1）Sf心）2.求差（商）法：类似于“丄坷+4°2+皿硏厶％=2/?+5,°口2电皿乩=匕±”22/2"n+1等条件时，使用求差（商）法求解；3.累加法：类似于“匕出-色=/（町”的条件吋，使用累加法求解=
3、/（/!-2）d-2_G“_3=/（〃_3）。2-q=/（1）以上式子左右分别相加，得色一q=/(〃一1)+/(〃一2)+/(北一3)……/(I)所以得到色=/(—1)+/(〃_2)+/(—3)•……+/(1)+®4叫类似于“譽F")”的条件时，使用累乘法求解;an=/(i)n/(2)匚/⑶nny(/?_i)aa2。3色-1^775•倒数法：类似于“色+
4、=上」”的条件时，使用倒数法求解5+k由已知得：丄二Q"+2二丄+丄Q卄I2色2an/J—［为等差数列，丄=1,公差为丄，・・・丄=1+(刃一1)丄二丄s
5、+i),・・・色二2〔勺J42an226.构造法:比如:an=kajd(k,d为常数，20,"1,"0)可转化为等比数列，设a”+c=k(%+c)=>an=kan_x+(£—l)c令(k»=d,・・・c=吉・・｛色+占｝是首项为4+白k为公比的等比数列nk-•5da.+1k-(1a.+(k-)类型一等差(等比)数列的证明【典例1】［2016年高考新课标III(17)］己知数列｛色｝的前刀项和S”=1+加”,其中2H0.(1)证明｛色｝是等比数列，并求其通项公式;1j【答案】⑴吸口(石T【解析】S],n
6、=l试题分析：（I）首先利用公式色=ccc，得到数列｛匕｝的递推公式，即可得到〔S”—S”-],22｛色｝是等比数列及｛色｝的通项公式；试题解析：（I）由题倉得q=S]=l+也，故久Hl，=7—7勺工0・L—A由S»=1十、,»+i=l+忌*+i得咳+i=也z—也
7、>即咳+i（久-1）=血”•由坷工0,兄工0得务工0,所以也=启.4兄T1212因此｛咳｝是苜项为丄，公比为各的等比数列，于星咳=丄（/7）小・1—AA—11—AA—14考点：数列的通项绻与前斤项和S“的关系，等比数列的定义、通项公式及前农项和.【
8、典例2】正数数列｛色｝和｛仇｝满足：对任意自然数仏5“色+]成等差数列,们%,仇+】成等比数列•证明:数列｛何｝为等差数列•【证明】依题意,an>0,bn>0,2乞二an+an^,且an+i=^bnbn+l,・•・色=血一肉⑺三2）…•・2»=札卩+Jb扎、•由此可得2賦=斥+甌即应:-賦=賦_亦二心2）.・••数列｛施｝为等差数列・【思路点拨】本题依据条件得到匕与乞的递推关系，通过消元代换构造了关于｛、底｝的等差数列，使问题得以解决.通过挖掘S”的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大
9、简化了计算.【变式训练】在数列｛色｝中,。严1,2色+严（1+丄）2色（neN+）•n（i）证明数列[终!成等比数列，并求｛色｝的通项公式；【解析】（【）由条件得一乩亏=丄臭，又〃=i时，尘=i,⑺+1）22n2n2故数列(终!构成首项为1,公比为丄的等比数列.从而终二厶，即cin=^—.[n22iv2心”2心类型二、求数列的通项公式⑴形如：Sn=/(色)或S”=f(n),求陽【典例3】[2016年高考山东理(18)】已知数列｛色｝的前刀项和S,=3h2+8/?,｛$｝是等差数列,且色=仇+扁・(I)求数列
10、｛$｝的通项公式；【答案】(I)仇=3,7+1【解析】试题分析：(I)根据冬=S”-Sp及等差数列的通项公式求解：试题解析：⑴由题意知当心2时，^=Sk-S&]=6〃+5,当”=1日寸，d]=Si=ll,所以aH=6n+5.设数列｛氏｝的公差为d,°=切+场[11=2A+d由广7:，即5LJ可解得E=4M=3,02=b2+b3[17=22^+3d所以^=3«+l.考点：数列前/?项和与第刀项的关系；
