模块5热点题型四数列与其他知识交汇【高考数学热点题型】

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1、热点题型四数列与其他知识交汇数列在高考中多与函数、不等式、解析几何、向量交汇命题，近年市于对数列要求降低,但仍有一些省份在考查数列与其他知识的交汇.归纳起來常见的命题角度冇：1•数列与不等式的交汇；2.数列与函数的交汇；一、数列与函数的交汇数列与函数的综合一般体现在两个方而：(1)以数列的特征量0，等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；(2)数列的项或前刀项和对以看作关于刀的甫数，然后利用函数的性质求解数列问题.【典例1】【2017广西南宁高三模拟】设等差数列｛①｝的公差为d,点(色

2、,仇)在函数/(x)=T的图象±UeN*).(1)证明：数列｛仇｝为等比数列；(2)若臼尸1,/U)的图象在点(％,仇)处的切线在x轴上的截距为2—化，求数列｛anb^｝的前n项和S”3/?—14”甘+4【答案】(1)见解析；(2)$=..hi

3、【解析】⑴证明：由己知，几=200,当时，亍=2—所以，数列｛加是首项为列，公比为2〃的等比数列.(2)函数=在(sb)处的切线方程为厂2£=(2£山2)&-幻，它在天轴上的截距为•由题意'才总•解得=・所以,片命一戲=1,b=2a,^=n-4于是，9

4、=1X4+2X4"+3X4’+…+Cn—1)•犷-‘+^•4笃4£=lX4a+2X43+-+U-1)X4*+jj-4*+,,因止匕,2-43=4+4'+・・・+4°—戸•4B+i=^^-n•4-+,=(】-珂严-433s(3刃_1)严+4所以9二g.■【解题技巧】(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.⑵解题时要注意数列与

5、函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此学握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决.二、数列与不等式的交汇与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商)、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中,是历年命题的热点.利用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩.【典例2】【2015高考四川，理16】设数列｛%｝的前斤项和Sn=2an-ax,且+

6、1,«3成等差数列.(1)求数列｛陽｝的通项公式;(2)记数列［j-］的前n项和7；,求得巴一1K盒成立的77的最小值.【答案】(1)an=Tx(2)10.【解析】(1)由已知S”=2an-a｝，有an=Sn-Sn_｝=2att-2an_｝(n>1),即an=2%0>l)・从而a2=2a,,a3=4坷.又因为qq+l®成等差数列,即坷+他=2(偽+1)・所以q+4q=2(2q+l),解得q=2・所以，数列｛色｝是首项为2,公比为2的等比数列.11115[1"(2n1所也乜+*+去+…+尹-歹由

7、

8、7；-1

9、<得

10、1—g—1K丄，即才>1000.”10002*1000因为29=512<1000<1024=210,所以心10.于是，使加成立的r的最小值为10.1VwV考点：本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和公式等基础知识,考查运算求解能力.【思路点拨】凡是有S”与％间的关系，都是考虑消去S“或色(多数时候是消去S”，得色与色―间的递推关系).在本题屮，得到色与©T间的递推关系式后，便知道这是一个等比数列，利用等比数列的相关公式即可求解.等差数列与等比数列是高考中的必

11、考内容，多属容易题，考生应立足得满分.【解题技巧】1.以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解;2.以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明.【变式训练】已知数列｛白讣前n项和为满足Sn=2ari—2n^nGNJ(1)证明：｛色+2｝是等比数列，并求｛&｝的通项公式;(2)数列｛仇｝满足^=log2(art+2)),人为数列｛—!—｝的前n项和,若Tn

12、>^.【解析】(1)由题设Sn=2an-2n^neNy工一=2%-2(〃-1)⑺》2)两式相减得an=2%+2,即an+2=2(%+2).又q+2=4,所以｛色+2｝是以4为首项，2为公比的等比数列，则陽+2=4x2=afl=4x2/,_,-2=2/,+,-2(/?>2),又坷=2,所以an=2n+1-2(neN、⑵因为仇沁2(©+2)“§2妙)*1，则£5+恥+2)〃+1〃+2所以+G弓+…+(占-士)十士冷’依题意律吨考点；数列与不等式相结合问题的处理方法兀"的各项和,其中兀>0,【一题多解