2017年全国高中联合竞赛加试（B卷）数学试题含答案

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1、2017年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）一、（本题满分40分）设实数a,b,c满足°+b+c=0,令〃=max{

2、«

3、,

4、/?

5、,

6、c

7、）,证明：

8、（l+d）（l+b）（l+c）

9、ni-d2二、（本题满分40分）给定正整数加，证明：存在正整数使得可将正整数集N+分拆为£个互不相交的子集£,食・・・,人，每个子集4•中均不存在4个数a,b,c,d（可以相同），满足ab-cd=m.三、（本题满分50分）如图，点D是锐角AABC的外接圆⑵上弧的屮点，直线DA与圆Q过点B,C的切线分别相交于点P,Q,B0与AC的交点为X,CP与A3的交点为Y,与CP的交点为T,求证：AT平分线段XY.四、（本题

10、满分50分）设马,。2,…<20W{1,2,…,5},勺,/?2,…，俎W{1,2,…,10},集合X={（z,川1o,那么有(1+。)(1+方)=1+a+b+abn1+a+b=1—cn1—〃>0因此

11、(1+0)(1+/?)(!+c)

12、>

13、(1-c)(l+c)

14、=l-c2=l-

15、c

16、2>l-d2证明：取k=m+1,令At={xx=,(mod/n+1),兀wN,,i=1,2,…，〃2+1设a.b.c.dg4,贝ijab-cd=/•/-/•/

17、=0(modm+1),故m^\ab-cd,而加+1m,所以在人中不存在4个数a.b.c.d,满足ab-cd=m三、AVAV证明：首先证明YX//BC.即证——=—XCYB连接BD,CD,因为匹坐•邑址=且空^AABCS^BPS^Bp丄AC•CQSinZACQ丄AC^BCsinZACB丄AC^AQsinZCAQ所以-2•-2二q,①丄AB•BCsinZABC丄4B•BPsinZABP丄AB•APsinZBAP222rh题设，BP.CQ是圆Q的切线，所以ZACQ=ZABC,ZACB=ZABP,又ZCAQ=ZDBC=ZDCB=ZBAP(注意D是弧BC的中点)，于是由①知AB^AQCQAC^AP

18、~BP'因为ZCAQ=ZBAP,所以ZBAQ=ZCAP,S^-AB^AQsinZBAQAB.AO于是5③Saacp-AC•APsinZCAPAC^AP2c'BC^CQsinZBCQ而竝=——5二冬S'RCP丄BC・BPsinZCBPBP2由②，(§),④得沁二込，^^ACPS、BCP即S^BQ=S^cPJ'CBQ°5BCP又_AXS'CBQXCSucpAYKB"XAY故——=—XCYB设边BC的屮点为M,因为丛•空•竺=1,XCMBYA所以由塞瓦定理知，AM,BX,CY三线共点，交点即为T,故由YX/IBC可得AT平分线段XY四、解：考虑一组满足条件的正整数a’S…，如,九",…，匕20）

19、对k=l,2,・・・,5,设4，・・・卫2（）中取值为R的数有一个，根据X的定义，当4=勺时，,因此至少有fc：个亿丿）不在X中，注意到$>点=20,则柯西不等式，我“1k=515511551on们有工税詁•（审—D）詁・G（D）2-D）詁・20•（弓一1）=30k=/k=k=/Ak=*=1/»从而X的元素个数不超过C；o-30=190-30=160另一方面,取％一3=a^k-2~au-=a4k~(k=1,2,・・・,5),S=6-a.(i=l,2,・・,20),则对任意/,./（1

20、a.）2<0等号成立当且仅当a.=aJf这恰好发生5C；=30次，此时X的元素个数达到C%-30=160综上所述，X的元素个数的最大值为160.