中考数学复习指导：对三角形内接矩形问题的探究

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1、对三角形内接矩形问题的探究题目张等腰三角形纸片，底边长15cm,底边上的高长22.5cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图1所示.已知剪得的纸条屮有一张是正方形，则这张正方形纸条是()(A)第4张(D)第7张分析根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得结解已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3,所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为兀，3x则3—二——,解得*4.5,1522.5所以另一段长为22.5-4.5=18.因为184-3=6,所

2、以是第6张.点评本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用.以原题为基础，稍作改变，可进行逐级延伸与拓展.引申如图2,在RtABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3.四边形QEFG为的内接正方形，求正方形的边长.B解析作CN丄ABt再根据GF//AB,可知CGF-CAB,由平行得到两对同位角相等，进而得到两三角形相似，根据相似三角形的性质列出关于无的方程，即可求出正方形的边长.在图2中作CN丄AB,交CF于点M，交AB于点N・5CMGF•••GF//AB.:.CGFsCAB,/.——=——CNA

3、B设正方形边长为兀，12xJ12x60——<•.A—.537变式1如图4,MBC内有并排的两个相等的正方形，且它们组成的矩形内接于MBC,求正方形的边长.解析在图5中作CN丄4B,交GF于点M,交AB于点N.CMGF•••GF//AB.•••ACGFsCAB,/•—=—.CNAB设每个正方形边长为尢，12_5*2兀6077Z—,••A—.125495变式2如图6,MBC内有并排的三个相等的正方形，且它们组成的矩形内接于AABC,求正方形的边长.图6解析作CN丄AB,交GF于点M,交AB于点N,易知，ACGFsMAB；根据

4、对应边的比等于相似比，同理可求出正方形的边长为:x=—61变式3如图7,按前面的规律，当有门个相等的正方形时，探求正方形的边长.解析设每个正方形的边长为X,同理图7126012〃+25—X得:512变式4如图&直角MBC屮，从左向右依次作正方形NDMC、MKEH、HPFG,若NDMC、MKEH的边长分别为加、/?,请你用含m代数式表示HPFG的边长.图8解如图9所示，根据条件可以得到ADKEsEPF,・•・DK:PE=KE:PF.而DK=m-nyFG=c,PE=n-c,PF=c,/.(m一n):(n-c)=n:c,/.n

5、=mc,・・・正方形HPFG的边长是巴.m评注一题多变，是基于“原题”之上的多变，在“继承”原题的部分条件或结论的同时，还应将“原题”的分析与求解的历程适度延续，在知识的应用、技能的训练或思想的渗透等方面应略高于原题.所以，设计好基于“原题”的变式题，将有利于提高分析问题和解决问题的能力.拓展如图10,在锐角三角形AABC屮，BC=12,AABC的而积为48,D,E分别是边A5AC上的两个动点(D不与重合)，且保持DE//BC,以DE为边,在点A的异侧作正方形DEFG.⑴当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG

6、的边长；(2)设DE=x,ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y,试求y关于x的函数关系式，写岀兀的取值范围，并求出y的最大值.c解析⑴当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图10,过点A作BC边上的高AM,交DE于N,垂足为M.•/Swc=1&BC=12,.•・AM=8.・・•DE//BC,AADEsAABC,DE_ANAN=AM-MN=AM-DE,DE_8-DE~n~8解之得DE=4.8.・・・当正方形DEFG的边GF在BC上吋，正方形DEFG的边长为4.8.(2)分两种情况：①当正方形DEFG在MBC的内部时，如

7、图9,MBC与正方形DEFG重叠部分的而积为正方形DEFG的面积.此时兀的范围是0vxW4.8；②当正方形DEFG的一部分在AABC的外部时,如图10,设DG与BC交于点Q、EF与BC交于点P、ABC的高AM交DE于W.图9・・•DE=x,DE//BC,DFAN••・ADEsAABC,即一-=——.BCAM而AN=AM—MN=AM—EP,x8—EP82解得EP=8—一x.3-2所以y=^(8——x),2.当4.8

8、二2x(-3)2次函数的最大值为一一x62+8x6=24.3所以，AABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24.点评本题主要考查了二次函数，平行线以及正方形的性质等知识点，要根据题意，得到二次函数关系，再根据二次函数的性质，即可得答案.变式型的数学练习设计是一种思维广度的训练，在这种思维广度训练