三角形内接矩形的讨论

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1、三角形内接矩形的讨论：从三角形中如何裁得面积较大的矩形，是数学教材中一个提及但未深入讨论的问题，本文通过分析论证得出了如何从三角形中裁出面积最大的矩形：当内接矩形的一边为三角形的中位线时，内接矩形的面积最大。在限定内接矩形高的情况下，只有当三角形一边上的高等于内接矩形高的2倍，内接矩形的一边在这条边上时，所得到的内接矩形的面积最大。　　关键词：三角形；矩形；面积最大；中位线　　　　数学教学改革越来越要求数学与实际应用的联系，这是数学发展方向之一。本文所讨论的就是其中的一个问题——三角形内接矩形。　　如图：三角形A

2、BC是一块锐角三角形余料，BC=a，高AD=h，要把它加工成长方形零件，使长方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个长方形零件的边长是多少时，面积最大？　　分析：由BC=a，高AD=h，那么三角形ABC的面积=0.5ah；四边形PQMN为△ABC的内接矩形，它的面积随着点P在AB上的不同位置而变化。当点P与点A重合时，矩形退缩为一条直线，面积为零。当点P在线段AB上自点A向点B移动时，矩形PQMN的面积会由小变大，然后由大变小。所以当点P移动到某个位置时，矩形PQMN的面积一定能取到最大值。　　当

3、点P在边AB的什么位置时，面积取最大值呢？假设点P在如图的位置时，面积有最大值，为了确定点P，设PN=x，然后通过计算确定x应满足的条件。　　证明：设PN=x，BC=a，AD=h，由△APN∽△ABC∴即又内接矩形PQMN的面积=PQ·PN　　==（x－）2+　　当x=时，矩形面积取到最大值。即当PN为三角形中位线时，面积最大，最大面积为三角形面积的一半。　　结论一：当三角形内接矩形的一边为三角形的中位线时，内接矩形的面积最大，最大值为三角形面积的一半。　　我们知道：周长相等的正方形、长方形，正方形的面积大于长方

4、形的面积。对于三角形的内接矩形，是否当内接矩形为正方形时面积最大呢？根据上面的结论，能得到正确的答案吗？　　事实上，不同的三角形内接矩形的存在情况是不同的。直角三角形中内接矩形有两种，锐角三角形内接矩形有三种，而钝角三角形只有一种。不论什么样的三角形，只有当它的内接矩形的一边为三角形的中位线时，内接矩形的面积最大，且最大值为三角形面积的一半。这时的内接矩形不一定为正方形。　　问题似乎已经解决，我们应注意到：内接矩形的四边一定有一边落在三角形的某一边上，在锐角三角形的每一条边上都存在一个内接矩形。同一块三角形余料中

5、，可以根据要求裁出三个不同的内接矩形，只要满足内接矩形的一边为三角形的中位线，面积都可以取到最大且相等，如果三角形的三边不相等，得到的三个内接矩形就会不全等，即三个内接矩形的长和宽各不相等，但面积的最大值相等。　　在实际应用中，受现实条件的限制，常常有几种情况，但只有一种或两种符合条件。例如在上面的问题中要求内接矩形的高一定（是个常数），问题变为：如何从一块三角形余料中裁出高一定，面积较大的内接矩形？对于一个三条边长给定的三角形，三边上的高随之确定，当三角形内接矩形的一边（矩形的长）分别落在三角形的三边上时，所得

6、到的三个内接矩形的面积也不相等，落在哪条边上时，内接矩形的面积较大呢？设△ABC的底边BC=a，高AD=h，要求从该三角形中裁出矩形PQMN，且使矩形PQMN的高PQ=h0，当矩形的一边QM落在BC边上时，计算此时矩形的面积。设PN=x，DE=PQ=h0，则AE=AD-DE=h-h0，　　由△CPN∽△CAB∴即，矩形PQMN的面积=PQ·PN=h0·PN　　=h0·h02+h0c　　=（h0－）2+　　当h0=h/2时，矩形面积取到最大值。由h0=h/2得h=2h0，也就是当AB边上的高h为2h0（h0为矩形的

7、高）时，矩形面积最大。　　结论二：当限定矩形PQMN的高为h0时，三角形的三边哪条边上的高较接近2h0，则内接矩形的一边应该在这条边上，这时满足条件的内接矩形的面积较大。　　我们通过一个简单的例子来说明：在直角三角形ACB中，AC=8，BC=6，斜边AB=10，AB边上的高CD=4.8，从这个直角三角形中截取一个高为2的内接矩形，应如何截取面积较大？我们分三种情况分别计算。　　　　　　　　　　　　　　　　（1）内接矩形的一边落在边BC上，这时高PC=2在边AC上，AP=AC-PC=6，由△APN～△ACB，可得P

8、N=4.5，内接矩形PCMN的面积=PC·PN=9.　　（2）内接矩形的一边落在边AC上，这时高PC=2在边BC上，BP=BC-PC=6-2=4，由△BPN∽△BCA，可得PN=16/3，内接矩形PCMN的面积=PC·PN=32/3。　　（3）内接矩形的一边落在斜边AB上，高PQ=2，CE=CD-DE=4.8-2=2.8由△CPN∽△CAB，可得PN=35/6，内接矩形P