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《专题44直线与圆锥曲线的位置关系之中点弦、焦点弦问题-备战2017年高考高三数学一轮热.》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第44讲直线与洌锥曲线的位置关系之中点弦、焦点弦问题考纲要求：1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法.2.了解圆锥曲线的简单应用.3.理解数形结合的思想.基础知识冋顾:1.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题（1）斜率为£的直线与锥曲线交于两点*（拓,71），乃），则所得弦长:IPRI=1+圧[x.+x2J4石&]=jl+/c•x—x2=乃+乃2—4乃上］=71—72（2）斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算（利用坐标轴上两点间距离公式）.2.圆锥曲线的中点弦问题遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.22>
2、2在椭巧+#1中，以血，％）为中点的弦所在直线的斜率治-證在双曲线尹养1中，以血，刃为中点的弦所在直线的斜率治元在抛物线/=2pT（p>0）中，以POo,必）为中点的弦所在直线的斜率To在使用根与系数关系时，要注意使用条件是420.应用举例：类型一弦的中点问题例1.已知一直线与椭圆4/+9/=36相交于力，B两点,眩初的中点坐标为Ml,1）,则直线AB的方程为.解析：解法一：根据题意，易知直线畀〃的斜率存在，设通过点Ml,1）的直线〃〃的方程为1）+1,代入椭圆方程，整理得（9护+4）,+18斤（1一£/+9（1—£）2—36=0.设弭
3、，〃的横坐标分别为孟，厂山+出9A（1—A）—”，4则丁=—9F+4=1，解乙得匸~9-4故直线AB的方程为y=—g（A~1）+1,即4/+9y—13=0.解法二：设〃（上，y）.••⑷中点为财（1,1）,:.B点坐标是（2—必,2—口）.将/,〃点的坐标代入方程4/+9/=36,得4彳+9说一36=0,①及4（2-xi）2+9（2-yi）2=36,化简为4并+9甘一16笛一36口+16=0.②①一②，得16x1+36〃一52=0,化简为4^i+9/i—13=0.同理可推出4（2—的）+9（2—yi）-13=0.・.•他,口）与B（2—
4、X,2-yi）都满足方程4卄”一13=0,.*.4^+9y—13=0即为所求._「4#+9试=36〉①解法三：设£（心“）＞丧（加＞K）是弦的两个端点〉代入椭圆方程〉得［疣+9貝一36②①—②〉得4（航+总）（总一曲）+9（_n+乃）5一乃）=0・'■'Mb1）为弦的中点,・・山+加=2,刃+乃=2・.■・4（才1一也）十9乃）=0..—乃_4■■——2航—出y4故朋方程为jp—1=—s（才一1）＞即4才+9jl13=0.y故填4才+9厂13=0・例2.设尸为抛物线C：y=4x的焦点，过点/«—1,0）的直线/交抛物线C于〃，B两点，
5、点Q为线段肋的屮点.若丨网
6、=2,则直线/的斜率等于•解析：由题意知直线/的斜率存在，设水八71）,Bd，匕），直线/的方程为尸心+1）,联立『（宀）’得以十（2〜4）*=0,,卄一牛=一21护=4从ky+y-z=k{xx+x^)+2k=~,设0(/,必)，则心=Xi+x2y】+乃幷=二—22)=?即q_i+01又尸(1,0),/=2,解得k=±.故填±1.]XV例3・过点Ml,1)作斜率为一厅的直线与椭圆飞+立=1(曰">0)相交于儿〃两2ab点，若必是线段肋的中点，则椭圆C的离心率等于•解析:设gyj,B(®y2),贝駅=1，迸
7、f两式相减得(xl—xJ(xl+xJ+(yi-yj)(yi+yj)a2b2=0,变形得-於(Xl+X2)a2(yl+y2)a2=2b%XLx/点评：弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点.归纳起来常见的探究角度有：1.由中点弦确定直线方程.2.由中点弦确定曲线方程.3.由中点弦解决对称问题.类型二直线与圆锥曲线位置关系之焦点弦例1・已知倾斜角为60°的直线1通过抛物线x2=4y的焦点，且与抛物线相交于A,B两点，则弦AB的长为•解析：直线1的方程为丫=萌x+1,联立+得y2_]4y+i=o.lx=4y设A(xi,yi),B(
8、X2,yj,则y】+y2=14,A
9、AB
10、=yi+y2+p=14+2=16.故填16.22例2.设椭圆C：話+吕=l(a>b>0)的一个顶点与抛物线C：<=4^3y的焦点重合,F.,F?分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e=
11、,过椭圆右焦点F2的直线1与椭圆C交于M,N两点.(1)求椭圆C的方程;(2)若0M・0N=—2,求直线1的方程；IADI2⑶若AB是椭圆C经过原点0的弦，MN〃AB,求证：冷「为定值.解析：4k2-123+41?./4k2-128弋,八+k(3+4/一3+4弋+1丿-5k2-123+41?=_2解得k=±花，故肓线
12、1的方程为y=€(x—1)或y=—車(x—1)・(3)证明:设M(xi,y】),N(x2,y2),A(x3,y：J,B(x4,yj,由(2)可得IMN
13、=#l+k'
14、xi—X2
15、=~1+k2~~[x)+x2
