直线与双曲线的位置关系及中点弦问题[1]

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1、课题：直线与双曲线的位置关系及中点弦问题1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线，双曲线联立解得若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若即，直线与双曲线相交，有两个交点；直线与双曲线相切，有一个交点；直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，且由，消去y→ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2－4ac。设，则弦长公式为：则若联立消

2、去得的一元二次方程：设，则焦点弦长：（点是圆锥曲线上的任意一点，是焦点，是到相应于焦点的准线的距离，是离心率）。【例1】过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。解析：若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为则，，∴，，当时，方程无解，不满足条件；当时，方程有一解，满足条件；当时，令，化简得：无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条和。【例2】直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上

3、？解析：把代入整理得：当时，。由>0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点。若A、B在双曲线的同一支，须>0，所以或。故当或时，A、B两点在同一支上；当时，A、B两点在双曲线的两支上。点评：与双曲线只有一个公共点的直线有两种。一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线。另一种是与双曲线相切的直线也有两条。【例3】求直线被双曲线截得的弦长；解析：由得得（*）设方程（*）的解为，则有得，3.中点弦问题：【例】求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程。解：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，则得：，∴，即，即（图象的一部

4、分）4、最值问题【例1】在双曲线上求一点，使到直线的距离最短。解：设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为：联立化简得（*），故切线方程为：代入双曲线方程解得（）【例2】设，为双曲线=1的右焦点，在双曲线上求一点P，使得取得最小值时，求P点的坐标.易解：P点的坐标为